Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
em intervalos onde definidas.
Passo 1
Temos as funções
e
. O conteúdo aqui é independência linear de duas funções num intervalo onde estão definidas, e para isso vamos usar a definição: elas são linearmente independentes se não existir combinação linear não trivial
em todo o intervalo.
Passo 2
Observamos que, para todo
em que
,
logo
Isso mostra que existe uma combinação não trivial (por exemplo,
) que zera identicamente as duas funções.
Passo 3
Como encontramos
e
não ambos zero com
, concluímos que elas são linearmente dependentes em qualquer intervalo onde estejam definidas.
Resposta
As funções são linearmente dependentes em todos os intervalos onde estão definidas; não há intervalo em que sejam independentes.