Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
f(theta)=tg theta, g(theta)=sen thetacos theta em intervalos onde definidas.

Passo 1

Temos as funções f(theta)=tantheta e g(theta)=dfracsinthetacostheta. O conteúdo aqui é independência linear de duas funções num intervalo onde estão definidas, e para isso vamos usar a definição: elas são linearmente independentes se não existir combinação linear não trivial c1f+c2g=0 em todo o intervalo.

Passo 2

Observamos que, para todo theta em que costhetaneq0,
tantheta=sinthetacostheta,
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f(theta)-g(theta)=0
Isso mostra que existe uma combinação não trivial (por exemplo, 1cdot f -1cdot g=0) que zera identicamente as duas funções.

Passo 3

Como encontramos c1=1 e c2=-1 não ambos zero com c1f+c2g=0, concluímos que elas são linearmente dependentes em qualquer intervalo onde estejam definidas.

Resposta

As funções são linearmente dependentes em todos os intervalos onde estão definidas; não há intervalo em que sejam independentes.

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