Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
f(x)=x, g(x)=x^2 em R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f(x)=x e g(x)=x² são linearmente independentes em ℝ. O conteúdo envolvido é independência linear de funções, e a técnica que vamos usar é a definição clássica por combinação linear identicamente nula.

Passo 2

Funções f e g são linearmente independentes em um intervalo se, da combinação linear
aqui abaixo surgirem apenas os coeficientes triviais a=b=0. Se existir alguma escolha não trivial de a e b que zere a combinação em todo o intervalo, elas seriam dependentes.

Passo 3

Escrevemos a condição de combinação nula:
a,x + b,x^2 = 0, forall x in R
Como isto deve valer para todo x, o polinômio p(x)=b x^2 + a x é o polinômio nulo. Portanto, pelo princípio da comparação de coeficientes em polinômios, temos b=0 (coeficiente de x²) e a=0 (coeficiente de x).

Passo 4

Chegamos a a=0 e b=0 como únicas soluções possíveis. Isso mostra que não há combinação linear não trivial que anule f e g em ℝ, logo elas são linearmente independentes no intervalo indicado.

Resposta

As funções f(x)=x e g(x)=x² são linearmente independentes em ℝ.

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