Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
f(theta)=cos (2 theta), g(theta)=2 cos ^2 theta-1 em R.

Passo 1

Vamos lá: temos as funções f(theta)=cos(2theta) e g(theta)=2cos^2theta - 1 em R. O que precisamos é verificar se existe combinação linear não trivial alpha f + beta g = 0 para todo theta.

Passo 2

Para entender melhor, lembra da identidade do ângulo duplo:
cos(2theta) = 2cos^2theta - 1
Isso mostra que g(theta) = f(theta) em todos os theta.

Passo 3

Se são exatamente a mesma função, uma combinação alpha f(theta) + beta g(theta) vira
(alpha + beta)cos(2theta),
que é zero para todo theta sempre que alpha + beta = 0, não precisando de alpha = beta = 0.

Passo 4

Logo, f e g são linearmente dependentes em R.

Resposta

As funções são linearmente dependentes em R.

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