Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
f(theta)=theta, g(theta)=sen theta em R.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se as funções f(θ)=θ e g(θ)=\sin θ são linearmente independentes em ℝ. O conteúdo aqui é independência linear de funções e vamos usar a definição via combinação linear trivial.

Passo 2

Dizemos que f e g são linearmente independentes se a única forma de satisfazer a combinação linear a·f(θ)+b·g(θ)=0 para todo θ∈ℝ é ter a=b=0. Então supomos que existam constantes a e b tais que
atheta + bsintheta = 0, forall,thetainR

Passo 3

Para encontrar a e b, derivamos a equação acima em relação a θ. A derivada de zero é zero, logo:
ddthetal(atheta + bsinthetar)=a + bcostheta = 0, forall,theta

Passo 4

Como a expressão a + b\cos\theta deve valer zero para todo θ e \cos\theta varia com θ, a única possibilidade é b=0 e, substituindo em a + b\cos\theta=0, obter a=0.
Portanto, os únicos coeficientes que anulam a combinação linear são a=b=0, o que mostra que f e g são linearmente independentes em ℝ.

Resposta

As funções f(θ)=θ e g(θ)=\sin θ são linearmente independentes em ℝ.

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