Determine a parte real e a parte imaginária de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função
.
Informações dadas que vamos usar:
-
é um número complexo arbitrário, que podemos escrever como com . - A operação
é o conjugado complexo. - O objetivo final é expressar
e em termos de e .
Passo 2
Escrever
em termos de
e
, e calcular o conjugado passo a passo.
Começando por escrever
:
Subtraindo
:
Agora o conjugado (usar que
para
):
Rearranjando o termo imaginal:
Passo 3
Para ficar mais limpo, defino duas quantidades reais:
Assim
Precisamos então calcular
e extrair suas partes real e imaginária.
Passo 4
Expandir
usando o binômio de Newton (mostrando cada termo):
Calcular as potências de
:
Substituindo:
Agrupando parte real e imaginária:
Passo 5
Voltar às variáveis
(lembre:
e
) e escrever explicitamente as partes real e imaginária:
Parte real (em forma compacta):
Parte imaginária (em forma compacta):
Passo 6
Se quiser as expressões totalmente expandidas em polinômios em
e
, desenvolvemos
e
:
Substituindo,
Resposta
Parte real:
Parte imaginária: