Determine a parte real e a parte imaginária de cada uma das funções abaixo:
f(z)=(\overline{z-i})^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função \;f(z)=(\overline{z-i})^{3}\;.
Informações dadas que vamos usar:
  • z é um número complexo arbitrário, que podemos escrever como \;z=x+iy\; com x,y\in\mathbb{R}.
  • A operação \overline{(\cdot)} é o conjugado complexo.
  • O objetivo final é expressar \Re f(z) e \Im f(z) em termos de x e y.

Passo 2

Escrever z-i em termos de x e y, e calcular o conjugado passo a passo.
Começando por escrever z:
z = x + i y.
Subtraindo i:
z-i = x + i(y-1).
Agora o conjugado (usar que \overline{a+ib}=a-ib para a,b\in\mathbb{R}):
\overline{z-i} = \overline{x + i(y-1)} = x - i(y-1).
Rearranjando o termo imaginal:
\overline{z-i} = x + i(1-y).

Passo 3

Para ficar mais limpo, defino duas quantidades reais:
a := x,\qquad b := 1-y.
Assim
\overline{z-i} = a + ib.
Precisamos então calcular (a+ib)^{3} e extrair suas partes real e imaginária.

Passo 4

Expandir (a+ib)^{3} usando o binômio de Newton (mostrando cada termo):
(a+ib)^{3} = a^{3} + 3a^{2}(ib) + 3a(ib)^{2} + (ib)^{3}.
Calcular as potências de ib:
(ib)^{2} = i^{2}b^{2} = -b^{2}, \qquad (ib)^{3} = (ib)^{2}\cdot(ib) = -b^{2}\cdot ib = -i b^{3}.
Substituindo:
(a+ib)^{3} = a^{3} + 3a^{2}ib + 3a(-b^{2}) + (-i b^{3}).
Agrupando parte real e imaginária:
(a+ib)^{3} = \bigl(a^{3} - 3ab^{2}\bigr) + i\bigl(3a^{2}b - b^{3}\bigr).

Passo 5

Voltar às variáveis x,y (lembre: a=x e b=1-y) e escrever explicitamente as partes real e imaginária:
Parte real (em forma compacta):
\Re\bigl((\overline{z-i})^{3}\bigr)=x^{3} - 3x(1-y)^{2}.
Parte imaginária (em forma compacta):
\Im\bigl((\overline{z-i})^{3}\bigr)=3x^{2}(1-y) - (1-y)^{3}.

Passo 6

Se quiser as expressões totalmente expandidas em polinômios em x e y, desenvolvemos (1-y)^{2} e (1-y)^{3}:
(1-y)^{2}=1-2y+y^{2}, \qquad (1-y)^{3}=1-3y+3y^{2}-y^{3}.
Substituindo,
\Re\bigl((\overline{z-i})^{3}\bigr)=x^{3}-3x(1-2y+y^{2})=x^{3}-3x+6xy-3xy^{2},
\Im\bigl((\overline{z-i})^{3}\bigr)=3x^{2}(1-y)-(1-3y+3y^{2}-y^{3})=3x^{2}-3x^{2}y-1+3y-3y^{2}+y^{3}.

Resposta

Parte real: \;x^{3} - 3x(1-y)^{2} = x^{3}-3x+6xy-3xy^{2}
Parte imaginária: \;3x^{2}(1-y) - (1-y)^{3} = 3x^{2}-3x^{2}y-1+3y-3y^{2}+y^{3}

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