Determine a parte real e a parte imaginária de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função
. - Informação dada:
é um número complexo arbitrário. - Vou usar as coordenadas cartesianas para números complexos: escrever
como , com . - Observação importante: a expressão está indefinida quando
, isto é, em (ou seja e ).
Passo 2
Conceitos e estratégia (passo-a-passo didático):
- Qual é a parte real e a parte imaginária? Se eu escrever
então
e
.
- Para obter
e a técnica padrão é escrever , substituir em e “racionalizar” o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é e tem a propriedade
que é real (muito útil para deixar o denominador real).
- Vou aplicar isso direto na função.
Passo 3
Substituir
em numerador e denominador:
Passo 4
Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
:
Agora vou desenvolver o numerador passo a passo:
Calcular termo a termo:
-
. -
. -
. -
(pois ).
Somando os termos reais e imaginários:
ou seja o numerador é
Passo 5
Portanto
Como o denominador é real, separamos imediatamente as partes real e imaginária dividindo cada termo:
Passo 6
Observações finais úteis para a prova (mastigadas):
- A fórmula vale para todo
exceto no ponto onde a função não está definida. - Checagem rápida: se
(ou seja real), então , como era de se esperar para uma fração de reais (quando o denominador não é zero). - Essas expressões são racionais em
e e são as respostas finais que normalmente se pede: escrever e em termos de e .