Determine a parte real e a parte imaginária de cada uma das funções abaixo:
f(z)=\frac{z-1}{z+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função f(z)=\dfrac{z-1}{z+1}.
  • Informação dada: z é um número complexo arbitrário.
  • Vou usar as coordenadas cartesianas para números complexos: escrever z como z=x+iy, com x,y\in\mathbb{R}.
  • Observação importante: a expressão está indefinida quando z+1=0, isto é, em z=-1 (ou seja x=-1 e y=0).

Passo 2

Conceitos e estratégia (passo-a-passo didático):
  • Qual é a parte real e a parte imaginária? Se eu escrever
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
então u(x,y)=\operatorname{Re}f(z) e v(x,y)=\operatorname{Im}f(z).
  • Para obter u e v a técnica padrão é escrever z=x+iy, substituir em f e “racionalizar” o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de a+ib é a-ib e tem a propriedade
(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2},
que é real (muito útil para deixar o denominador real).
  • Vou aplicar isso direto na função.

Passo 3

Substituir z=x+iy em numerador e denominador:
z-1=(x-1)+i y, \qquad z+1=(x+1)+i y.

Passo 4

Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z+1, que é (x+1)-i y:
f(z)=\frac{(x-1)+i y}{(x+1)+i y}\cdot\frac{(x+1)-i y}{(x+1)-i y} =\frac{\big((x-1)+i y\big)\big((x+1)-i y\big)}{(x+1)^{2}+y^{2}}.
Agora vou desenvolver o numerador passo a passo:
\big((x-1)+i y\big)\big((x+1)-i y\big) =(x-1)(x+1)+(x-1)(-i y)+i y(x+1)+i y(-i y).
Calcular termo a termo:
  • (x-1)(x+1)=x^{2}-1.
  • (x-1)(-i y)=-i y(x-1).
  • i y(x+1)=i y(x+1).
  • i y(-i y)=-i^{2}y^{2}=+y^{2} (pois i^{2}=-1).
    Somando os termos reais e imaginários:
\text{parte real do numerador}=x^{2}-1+y^{2}=x^{2}+y^{2}-1,
\text{parte imaginária do numerador}=-y(x-1)+y(x+1)=2y,á
ou seja o numerador é
(x^{2}+y^{2}-1)+i\,(2y).

Passo 5

Portanto
f(z)=\frac{(x^{2}+y^{2}-1)+i\,(2y)}{(x+1)^{2}+y^{2}}.
Como o denominador é real, separamos imediatamente as partes real e imaginária dividindo cada termo:
\operatorname{Re}f(z)=\frac{x^{2}+y^{2}-1}{(x+1)^{2}+y^{2}}, \qquad \operatorname{Im}f(z)=\frac{2y}{(x+1)^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (mastigadas):
  • A fórmula vale para todo x,y exceto no ponto (x,y)=(-1,0) onde a função não está definida.
  • Checagem rápida: se y=0 (ou seja z real), então \operatorname{Im}f(z)=0, como era de se esperar para uma fração de reais (quando o denominador não é zero).
  • Essas expressões são racionais em x e y e são as respostas finais que normalmente se pede: escrever \operatorname{Re}f e \operatorname{Im}f em termos de x e y.

Resposta

\operatorname{Re}f(z)=\dfrac{x^{2}+y^{2}-1}{(x+1)^{2}+y^{2}}
\operatorname{Im}f(z)=\dfrac{2y}{(x+1)^{2}+y^{2}}

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