Simplifique a seguinte expressão de produtos notáveis:
(2 x+y)^{2}-(2 x-y)^{2}-4 x y .
Qual o resultado obtido?
a) 4 x y.
b) 2 x y.
c) 0 .
d) -2 x y.
e) -4 x y.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
(2 x+y)^{2}-(2 x-y)^{2}-4 x y.
As informações que temos são exatamente os termos escritos aí. A pergunta final é qual o resultado simplificado (há alternativas fornecidas, entre elas 4xy, 2xy, 0, -2xy, -4xy).

Passo 2

Vou lembrar um produto notável muito útil: a diferença de quadrados. Para quaisquer expressões a e b vale
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando rápido: ao expandir o produto (a-b)(a+b) surge a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}. Essa identidade costuma simplificar muito contas porque transforma uma diferença de quadrados num produto mais simples.

Passo 3

Identifico na nossa expressão a=2x+y e b=2x-y. Aplico a identidade da diferença de quadrados:
(2x+y)^{2}-(2x-y)^{2} \;=\; \big((2x+y)-(2x-y)\big)\big((2x+y)+(2x-y)\big).

Passo 4

Calculo cada fator separadamente (mostrando passo a passo):
(2x+y)-(2x-y)=2x+y-2x+y=2y,
(2x+y)+(2x-y)=2x+y+2x-y=4x.
Portanto
(2x+y)^{2}-(2x-y)^{2}= (2y)(4x)=8xy.

Passo 5

Agora volto à expressão original e subtraio o termo final -4xy:
8xy-4xy=4xy.
Ou seja, a expressão toda simplifica para 4xy.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para ganhar segurança): expandindo os quadrados diretamente,
(2x+y)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2},
(2x-y)^{2}=4x^{2}-4xy+y^{2}.
Subtraindo: (4x^{2}+4xy+y^{2})-(4x^{2}-4xy+y^{2})=8xy. Subtraindo depois 4xy resulta em 4xy. Confere com o resultado anterior.

Resposta

a) 4 x y

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