Determine todos os números z \in \mathbb{C} tais que z^{n}=w (raízes n-ésimas de w ) para os valores abaixo de n e w :
n=3, w=8 i

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números z\in\mathbb{C} tais que z^{n}=w para os valores n=3 e w=8i.
Informações dadas:
  • n=3.
  • w=8i.
O objetivo final é listar todas as raízes cúbicas de 8i (ou seja, todos os z tais que z^{3}=8i).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do que vamos usar). Qualquer número complexo z pode ser escrito em forma polar/exponencial:
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|\ge 0 é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo) de z. A fórmula de De Moivre diz que, para inteiro n,
\bigl(r e^{i\theta}\bigr)^{n} = r^{n} e^{i n\theta}.
Aqui r é o módulo de z e \theta é o ângulo; ao elevar à potência n o módulo fica r^{n} e o ângulo fica n\theta. Vamos aplicar isso ao caso z^{3}=w.

Passo 3

Expressar w em forma polar/exponencial. O número dado é w=8i. O módulo é
|w|=8.
Geometricamente 8i está sobre o eixo imaginário positivo, portanto um argumento possível (o principal) é \dfrac{\pi}{2}. Como os argumentos são determinados módulo 2\pi, todos os argumentos são \dfrac{\pi}{2}+2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Assim podemos escrever
w = 8 e^{i(\frac{\pi}{2}+2\pi k)}\qquad(k\in\mathbb{Z}).

Passo 4

Se z=r e^{i\theta} satisfaz z^{3}=w, então aplicando De Moivre:
r^{3} e^{i 3\theta} = 8 e^{i(\frac{\pi}{2}+2\pi k)}.
Isto gera duas equações reais independentes: uma para os módulos e outra para os ângulos.
Da igualdade dos módulos:
r^{3}=8 \quad\Rightarrow\quad r = \sqrt[3]{8}=2,
porque o módulo é não negativo e tomamos a raiz real positiva.
Da igualdade dos ângulos:
3\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3},
com k\in\mathbb{Z}. Como os argumentos se repetem módulo 2\pi, basta tomar três valores distintos de k consecutivos, por exemplo k=0,1,2, para obter todas as raízes distintas.

Passo 5

Calcular as três raízes correspondentes a k=0,1,2.
  • Para k=0:
\theta_{0} = \frac{\pi}{6}, \qquad z_{0} = 2 e^{i\pi/6} = 2\bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\bigr).
Sabendo \cos\frac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}, obtemos
z_{0} = 2\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\Bigr) = \sqrt{3} + i.
  • Para k=1:
\theta_{1} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}, \qquad z_{1} = 2 e^{i5\pi/6} = 2\bigl(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\bigr).
Sabendo \cos\frac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\frac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}, obtemos
z_{1} = 2\Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\Bigr) = -\sqrt{3} + i.
  • Para k=2:
\theta_{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}, \qquad z_{2} = 2 e^{i3\pi/2} = 2\bigl(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\bigr).
Sabendo \cos\frac{3\pi}{2}=0 e \sin\frac{3\pi}{2}=-1, obtemos
z_{2} = 2(0 - i) = -2i.

Passo 6

Verificação rápida por argumento: para cada z_{j} temos |z_{j}|=2 e ângulo \theta_{j}. Então z_{j}^{3}=2^{3}e^{i3\theta_{j}}=8 e^{i(\pi/2+2\pi k)}=8i. Assim as três soluções encontradas são corretas e todas são distintas.

Resposta

\sqrt{3} + i
-\sqrt{3} + i
-2i

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