Determine todos os números
tais que
(raízes
-ésimas de
) para os valores abaixo de
e
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números
tais que
para os valores
e
.
Informações dadas:
-
. -
.
O objetivo final é listar todas as raízes cúbicas de
(ou seja, todos os
tais que
).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do que vamos usar). Qualquer número complexo
pode ser escrito em forma polar/exponencial:
onde
é o módulo e
é o argumento (ângulo) de
. A fórmula de De Moivre diz que, para inteiro
,
Aqui
é o módulo de
e
é o ângulo; ao elevar à potência
o módulo fica
e o ângulo fica
. Vamos aplicar isso ao caso
.
Passo 3
Expressar
em forma polar/exponencial. O número dado é
. O módulo é
Geometricamente
está sobre o eixo imaginário positivo, portanto um argumento possível (o principal) é
. Como os argumentos são determinados módulo
, todos os argumentos são
com
. Assim podemos escrever
Passo 4
Se
satisfaz
, então aplicando De Moivre:
Isto gera duas equações reais independentes: uma para os módulos e outra para os ângulos.
Da igualdade dos módulos:
porque o módulo é não negativo e tomamos a raiz real positiva.
Da igualdade dos ângulos:
com
. Como os argumentos se repetem módulo
, basta tomar três valores distintos de
consecutivos, por exemplo
, para obter todas as raízes distintas.
Passo 5
Calcular as três raízes correspondentes a
.
- Para
:
Sabendo
e
, obtemos
- Para
:
Sabendo
e
, obtemos
- Para
:
Sabendo
e
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida por argumento: para cada
temos
e ângulo
. Então
. Assim as três soluções encontradas são corretas e todas são distintas.