Determine a parte real
e a parte imaginária
das seguintes funções:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede claramente: determinar a parte real
e a parte imaginária
da função
Informações dadas e o que queremos extrair:
- A variável complexa
será representada em coordenadas polares , onde é o módulo e é o argumento angular. - Queremos expressar a parte real
e a parte imaginária de explicitamente em termos de e .
Passo 2
Lembrando a representação polar de um número complexo: qualquer
pode ser escrito como
onde
e
. Aqui
é um número real positivo e
é um ângulo real. A fórmula de Euler diz que
Vou usar essas duas ideias: escrever
em forma exponencial e usar Euler para passar a coseno e seno.
Passo 3
Calcule a recíproca
em termos de
e
. Como
,
Observe que
garante que essa divisão é válida.
Passo 4
Substituo
e
em
:
Agora vou transformar cada exponencial em coseno e seno usando Euler:
Passo 5
Somando as duas expressões e agrupando parte real e imaginária:
Separe as partes real e imaginária:
- Parte real (coeficiente de
):
- Parte imaginária (coeficiente de
):
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: quando
as fórmulas dão
e
, o que faz sentido porque para
tem-se
e
, cuja soma é
(número real). Isso confirma que as fórmulas estão consistentes em um caso simples.