Determine a parte real u=u(r, \theta) e a parte imaginária v=v(r, \theta) das seguintes funções:
f) w=f(z)=z+\frac{1}{z}(z \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede claramente: determinar a parte real u=u(r,\theta) e a parte imaginária v=v(r,\theta) da função
w=f(z)=z+\frac{1}{z},\qquad z\neq0.
Informações dadas e o que queremos extrair:
  • A variável complexa z será representada em coordenadas polares (r,\theta), onde r>0 é o módulo e \theta é o argumento angular.
  • Queremos expressar a parte real u e a parte imaginária v de w explicitamente em termos de r e \theta.

Passo 2

Lembrando a representação polar de um número complexo: qualquer z\neq0 pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 e \theta=\arg z. Aqui r é um número real positivo e \theta é um ângulo real. A fórmula de Euler diz que
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Vou usar essas duas ideias: escrever z em forma exponencial e usar Euler para passar a coseno e seno.

Passo 3

Calcule a recíproca 1/z em termos de r e \theta. Como z=r e^{i\theta},
\frac{1}{z}=\frac{1}{r e^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}.
Observe que r>0 garante que essa divisão é válida.

Passo 4

Substituo z e 1/z em w:
w = z+\frac{1}{z} = r e^{i\theta} + \frac{1}{r} e^{-i\theta}.
Agora vou transformar cada exponencial em coseno e seno usando Euler:
r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad \frac{1}{r} e^{-i\theta} = \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta).

Passo 5

Somando as duas expressões e agrupando parte real e imaginária:
w = r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta).
Separe as partes real e imaginária:
  • Parte real (coeficiente de 1):
\text{Re}(w)=r\cos\theta + \frac{1}{r}\cos\theta = \left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta.
  • Parte imaginária (coeficiente de i):
\text{Im}(w)=r\sin\theta - \frac{1}{r}\sin\theta = \left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: quando r=1 as fórmulas dão \text{Re}(w)=2\cos\theta e \text{Im}(w)=0, o que faz sentido porque para r=1 tem-se z=e^{i\theta} e 1/z=e^{-i\theta}, cuja soma é 2\cos\theta (número real). Isso confirma que as fórmulas estão consistentes em um caso simples.

Resposta

u(r,\theta)=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta
v(r,\theta)=\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta

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