Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
a) \left|e^{z}\right|=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade \left|e^{z}\right|=e^{x}. As informações relevantes que temos são:
  • z\in\mathbb{C}. Podemos escrever z na forma cartesiana z=x+iy, onde x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z) são números reais.
  • A tarefa é mostrar que o módulo (valor absoluto) da exponencial complexa e^{z} é igual a e^{x}.

Passo 2

Vou relembrar e explicar duas ferramentas que vou usar:
  1. Decomposição de z: se z=x+iy, então
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\,e^{iy}.
Aqui usei a propriedade da exponencial que transforma soma no produto: e^{a+b}=e^{a}e^{b}.
  1. Fórmula de Euler para a parte puramente imaginária: para y\in\mathbb{R},
e^{iy}=\cos y + i\sin y.
Explicação curta do porquê (didática): as séries de Taylor das funções envolvidas são
e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!},\qquad \cos t=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{t^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin t=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Se substituímos t=iy na série de e^{t} e agrupamos as partes de ordem par e ímpar, obtemos exatamente \cos y + i\sin y. Isso é a origem da identidade de Euler acima.
Também lembro a definição de módulo de um número complexo: se w=u+iv com u,v\in\mathbb{R}, então
|w|=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.

Passo 3

Agora calculo o módulo passo a passo. Escrevendo e^{z} com a fórmula de Euler:
e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr).
Isso é um número complexo cuja parte real é e^{x}\cos y e parte imaginária é e^{x}\sin y. Aplicando a definição do módulo:
\left|e^{z}\right| =\sqrt{\bigl(e^{x}\cos y\bigr)^{2}+\bigl(e^{x}\sin y\bigr)^{2}}.

Passo 4

Fatorando e^{x} dentro da raiz:
\left|e^{z}\right| =\sqrt{e^{2x}\bigl(\cos^{2}y+\sin^{2}y\bigr)}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}y+\sin^{2}y=1, obtemos
\left|e^{z}\right|=\sqrt{e^{2x}\cdot 1}=\sqrt{e^{2x}}.
Como e^{2x}=(e^{x})^{2} e e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a raiz quadrada dá simplesmente e^{x}. Portanto
\left|e^{z}\right|=e^{x}.

Passo 5

Comentário final e intuição: a parte imaginária y apenas gira o número complexo no plano (multiplicação por e^{iy} é uma rotação), e rotações não mudam o comprimento. O fator e^{x} escala o comprimento, por isso o módulo final é exatamente e^{x}. Isso vale mesmo se x for negativo (então e^{x} é um número entre 0 e 1).

Resposta

\left|e^{z}\right|=e^{x}

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