Verifique as seguintes propriedades da função exponencial (
):
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade
. As informações relevantes que temos são:
-
. Podemos escrever na forma cartesiana , onde e são números reais. - A tarefa é mostrar que o módulo (valor absoluto) da exponencial complexa
é igual a .
Passo 2
Vou relembrar e explicar duas ferramentas que vou usar:
- Decomposição de
: se , então
Aqui usei a propriedade da exponencial que transforma soma no produto:
.
- Fórmula de Euler para a parte puramente imaginária: para
,
Explicação curta do porquê (didática): as séries de Taylor das funções envolvidas são
Se substituímos
na série de
e agrupamos as partes de ordem par e ímpar, obtemos exatamente
. Isso é a origem da identidade de Euler acima.
Também lembro a definição de módulo de um número complexo: se
com
, então
Passo 3
Agora calculo o módulo passo a passo. Escrevendo
com a fórmula de Euler:
Isso é um número complexo cuja parte real é
e parte imaginária é
. Aplicando a definição do módulo:
Passo 4
Fatorando
dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Como
e
para todo
, a raiz quadrada dá simplesmente
. Portanto
Passo 5
Comentário final e intuição: a parte imaginária
apenas gira o número complexo no plano (multiplicação por
é uma rotação), e rotações não mudam o comprimento. O fator
escala o comprimento, por isso o módulo final é exatamente
. Isso vale mesmo se
for negativo (então
é um número entre
e
).