Determine a parte real u=u(r, \theta) e a parte imaginária v=v(r, \theta) das seguintes funções:
w=f(z)=i z

Passo 1

O enunciado dá a função w=f(z)=i\,z e pede para determinar a parte real u=u(r,\theta) e a parte imaginária v=v(r,\theta) em coordenadas polares. Informações úteis fornecidas ou que podemos considerar imediatamente:
  • A incógnita é z, número complexo.
  • Quer-se u e v em termos de r e \theta.
  • Lembrar que um número complexo pode ser escrito em coordenadas retangulares e polares:
z = x + i y
z = r e^{i\theta}\quad\text{com}\quad r\ge 0,\\ \theta\in\mathbb{R},
e que as relações entre as coordenadas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.

Passo 2

Vamos calcular w escrevendo primeiro z na forma retangular z=x+iy. Substituindo em w=i z obtemos:
w = i(x+iy).
Agora desenvolvendo a multiplicação, lembrando que i^2=-1:
w = i x + i^2 y = i x - y.
Separando em parte real e imaginária isso dá
w = (-y) + i\,x.
Logo, em coordenadas (x,y) a parte real e imaginária são
u(x,y)=-y,\qquad v(x,y)=x.
Explicação didática: multiplicar por i corresponde a trocar x e y e introduzir um sinal negativo na parte que vira real — isto é, i(x+iy)= -y + i x.

Passo 3

Agora converto as expressões u(x,y) e v(x,y) para coordenadas polares usando as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Substituo em u(x,y) e v(x,y).

Passo 4

Substituição direta:
u(r,\theta) = -y = -\big(r\sin\theta\big) = -r\sin\theta,
v(r,\theta) = x = r\cos\theta.
Aqui r é o módulo de z e \theta é o argumento; as fórmulas acima dão as partes real e imaginária de w em função de r e \theta.

Passo 5

Verificação alternativa (interpretação geométrica, para fixar a ideia): escrevendo z em forma exponencial temos
z = r e^{i\theta},
então
w = i z = i\,r e^{i\theta} = r\,e^{i(\theta+\tfrac{\pi}{2})}.
Da forma r e^{i(\theta+\pi/2)} segue que
u(r,\theta)=r\cos\big(\theta+\tfrac{\pi}{2}\big),\qquad v(r,\theta)=r\sin\big(\theta+\tfrac{\pi}{2}\big).
Usando as identidades trigonométricas \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta e \sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta recupera-se
u(r,\theta)=-r\sin\theta,\qquad v(r,\theta)=r\cos\theta,
confirmando o resultado do passo anterior. Intuição: multiplicar por i rota o vetor que representa z em \tfrac{\pi}{2} (90°).

Passo 6

Checagem numérica simples para ganhar confiança: se r=2 e \theta=0 então z=2 e w=i\cdot 2=2i, logo u=0 e v=2. Pelas fórmulas:
u(2,0)=-2\sin 0=0,\qquad v(2,0)=2\cos 0=2,
coincide. Bom sinal — fórmulas consistentes.

Resposta

u(r,\theta) = -r\sin\theta
v(r,\theta) = r\cos\theta

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