Determine a parte real
e a parte imaginária
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a parte real
e a parte imaginária
em coordenadas polares. Informações úteis fornecidas ou que podemos considerar imediatamente:
- A incógnita é
, número complexo. - Quer-se
e em termos de e . - Lembrar que um número complexo pode ser escrito em coordenadas retangulares e polares:
e que as relações entre as coordenadas são
Passo 2
Vamos calcular
escrevendo primeiro
na forma retangular
. Substituindo em
obtemos:
Agora desenvolvendo a multiplicação, lembrando que
:
Separando em parte real e imaginária isso dá
Logo, em coordenadas
a parte real e imaginária são
Explicação didática: multiplicar por
corresponde a trocar
e
e introduzir um sinal negativo na parte que vira real — isto é,
.
Passo 3
Agora converto as expressões
e
para coordenadas polares usando as relações
Substituo em
e
.
Passo 4
Substituição direta:
Aqui
é o módulo de
e
é o argumento; as fórmulas acima dão as partes real e imaginária de
em função de
e
.
Passo 5
Verificação alternativa (interpretação geométrica, para fixar a ideia): escrevendo
em forma exponencial temos
então
Da forma
segue que
Usando as identidades trigonométricas
e
recupera-se
confirmando o resultado do passo anterior. Intuição: multiplicar por
rota o vetor que representa
em
(90°).
Passo 6
Checagem numérica simples para ganhar confiança: se
e
então
e
, logo
e
. Pelas fórmulas:
coincide. Bom sinal — fórmulas consistentes.