Esboce o gráfico da função f a partir das informações dadas.
i. O domínio de f é conjunto
D(f)=\{x \in \mathbb{R}: x \neq-3 \text { e } x \neq 3\} .
ii. f é uma função par, isto é,
\forall x \in D(f), f(x)=f(-x)
iii. f(0)=0, f(4)=0, f(5)=7 e f(7)=5.
iv. f é crescente para x \in(0,3) \cup(3,5) \cup(7,+\infty)
v. f é descrescente para x \in(5,7)

Passo 1

O que o enunciado dá (vou listar tudo com clareza):
  • Domínio: \,D(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq -3\text{ e }x\neq 3\}.
  • Paridade: f é par, isto é, \forall x\in D(f),\;f(x)=f(-x).
  • Valores conhecidos: f(0)=0,\;f(4)=0,\;f(5)=7,\;f(7)=5.
  • Monotonicidade no lado positivo:
    • f é crescente em (0,3).
    • f é crescente em (3,5).
    • f é decrescente em (5,7).
    • f é crescente em (7,+\infty).
  • Pedido: esboçar o gráfico de f usando essas informações.

Passo 2

Entender o que significa ser função par e como isso ajuda no esboço (mini-aula):
  • Definição: f é par se \forall x,\;f(-x)=f(x). Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo y).
  • Consequência prática: basta construir o ramo para x\ge 0 e depois refletir (espelhar) esse ramo para x\le 0.
  • Exemplo simples: se numa função par f(2)=3, então imediatamente f(-2)=3. No desenho, o ponto (2,3) tem um espelho em (-2,3).

Passo 3

Obter os pontos do lado negativo por paridade:
  • Pelo fato de f ser par e pelos valores dados:
    • De f(4)=0 segue f(-4)=0.
    • De f(5)=7 segue f(-5)=7.
    • De f(7)=5 segue f(-7)=5.
  • Mantém-se f(0)=0 (origem).

Passo 4

Interpretação das monotonicidades no lado positivo (como usar no esboço):
  • Em (0,3) a função é crescente: isso significa que, ao sair de x=0 para a direita até x próximo de 3, os valores de f(x) aumentam.
    • Temos f(0)=0. Logo, em (0,3) a curva parte de (0,0) e sobe (pode subir pouco ou muito — o enunciado não dá valores intermediários).
  • Em (3,5) a função também é crescente: portanto, entrando em x=4 (que está em (3,5)) a função segue subindo até x=5.
    • Temos o dado específico f(4)=0 e f(5)=7. Como (3,5) é crescente, os valores satisfazem f(3^+)<f(4)=0<f(5)=7,ou seja, o valor imediatamente à direita de 3 (denotado f(3^+)) deve ser menor que 0. Não sabemos o valor numérico de f(3^+), só que é menor que 0.
  • Em (5,7) a função é decrescente: começa em f(5)=7 e vai descendo até f(7)=5. Logo para x\in(5,7) os valores ficam entre 7 e 5, decrescendo.
  • Em (7,\infty) a função é crescente: a partir de (7,5) o gráfico sobe (valores > 5 ou se aproxima de 5 a partir de baixo e sobe; não temos valores numéricos adicionais).

Passo 5

O que sabemos sobre os pontos x=\pm 3 (atenção importante):
  • x=\pm 3 estão fora do domínio — isto é obrigatório no desenho indicar que a função não está definida nesses x.
  • O enunciado não fornece limites laterais \lim_{x\to 3^\pm} f(x) nem \lim_{x\to -3^\pm} f(x). Portanto não se pode afirmar se há uma assíntota vertical, um salto finito ou simplesmente um ponto removido (buraco). Na construção do esboço devemos indicar apenas que em x=\pm 3 a função é indefinida (por exemplo com um traço vertical pontilhado e/ou círculos abertos nos pontos onde a curva se aproxima de x=3 e x=-3), sem atribuir um valor.
  • Observação útil: como f é par, os comportamentos à esquerda e à direita de 3 e de -3 estarão relacionados por simetria em relação ao eixo y.

Passo 6

Determinar as monotonicidades no lado negativo usando a paridade (mini-demonstrativo):
  • Proposição: se f é par e é crescente em um intervalo (0,a), então em (-a,0) f é decrescente. Demonstração curta:
    • Seja 0<x_1<x_2<a. Como f é crescente em (0,a), f(x_1)<f(x_2).
    • Considere os pontos simétricos -x_2< -x_1 (estes estão em (-a,0)). Então f(-x_2)=f(x_2) e f(-x_1)=f(x_1).
    • Assim f(-x_2)=f(x_2)>f(x_1)=f(-x_1). Como -x_2< -x_1 e f(-x_2)>f(-x_1), a função decresce quando nos movemos para a direita em (-a,0).
  • Aplicando essa ideia às informações dadas:
    • Como f é crescente em (0,3), então f é decrescente em (-3,0).
    • Como f é crescente em (3,5), então f é decrescente em (-5,-3).
    • Como f é decrescente em (5,7), então f é crescente em (-7,-5).
    • Como f é crescente em (7,\infty), então f é decrescente em (-\infty,-7).

Passo 7

Montagem do esboço — passo a passo de COMO desenhar (faça isso no papel):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque com uma cruz ou círculo aberto os pontos onde a função não está definida: x=3 e x=-3 (coloque uma linha vertical pontilhada em x=3 e x=-3 ou apenas círculos abertos nas curvas onde elas se aproximam desses x).
  3. Plote os pontos conhecidos (lado positivo) e seus espelhos (lado negativo):
    • (0,0).
    • (4,0) e o espelho (-4,0).
    • (5,7) e o espelho (-5,7).
    • (7,5) e o espelho (-7,5).
  4. Construa a curva para x>0 obedecendo às monotonicidades:
    • Em (0,3): desenhe uma curva partindo de (0,0) que sobe (crescente) quando x vai para 3. Não conecte a x=3 (deixe a curva aproximar-se e terminar antes de x=3); marque que f não está definida em x=3.
    • Em (3,5): desenhe a curva saindo de perto da vertical x=3 (em algum valor menor que 0, pois já vimos que f(3^+)<0), subindo e passando por (4,0) e indo até (5,7).
    • Em (5,7): desenhe a curva descendo suavemente de (5,7) até (7,5).
    • Em (7,\infty): faça a curva subir novamente para a direita de (7,5).
  5. Reflita todo o ramo x>0 para x<0 (espelhamento em relação ao eixo y), garantindo as monotonicidades já deduzidas no Passo 6:
    • Em particular, entre (-3,0) a curva deve decrescer vindo da esquerda até (0,0).
    • Em (-5,-3) a curva também deve decrescer (espelho de (3,5)).
    • Em (-7,-5) a curva deve crescer (espelho de (5,7)).
    • Em (-\infty,-7) a curva deve decrescer (espelho de (7,\infty)).
  6. Ao desenhar as conexões, mantenha a suavidade (curvas contínuas dentro de cada intervalo de definição) e não coloque pontos preenchidos em x=\pm 3 (pois não pertencem ao domínio).
  7. Legende os pontos importantes e, se quiser, desenhe setas nas extremidades para indicar comportamento para x\to\pm\infty (crescimento/decrescimento conforme as últimas monotonicidades).

Passo 8

Verificações rápidas para garantir consistência (checklist mental):
  • Simetria: para cada parte direita do gráfico existe exatamente o espelho esquerdo.
  • Pontos obrigatórios desenhados: (0,0), (4,0), (5,7), (7,5) e seus reflexos em x\mapsto -x.
  • Em x=\pm 3 há interrupção (não definir valor).
  • Em (3,5) a ordem de alturas obedece f(3^+)<f(4)=0<f(5)=7.
  • Em (5,7) os valores descem de 7 para 5.
  • Monotonicidade invertida no lado negativo conforme Passo 6.

Passo 9

Dicas finais para desenhar com confiança (motivação rápida):
  • Não precisa conhecer valores exatos entre os pontos — o esboço é qualitativo: o importante é respeitar paridade, pontos fixos e monotonicidades.
  • Se estiver fazendo na prova, desenhe primeiro o lado direito com pontos marcados e depois faça o espelho — é a maneira mais rápida e segura.
  • Lembre-se: deixe claramente indicado que x=\pm 3 não pertencem ao domínio (círculos abertos ou linha pontilhada).

Resposta

Gráfico esboçado: função par (simétrica em relação ao eixo y), com pontos (0,0),\;(4,0),\;(5,7),\;(7,5) e seus reflexos (-4,0),\;(-5,7),\;(-7,5); função indefinida em x=\pm 3 (marcar buracos em x=\pm 3); monotonicidades:
  • crescente em (0,3), crescente em (3,5), decrescente em (5,7), crescente em (7,\infty);
  • e, por paridade, decrescente em (-3,0), decrescente em (-5,-3), crescente em (-7,-5), decrescente em (-\infty,-7).

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