Esboce o gráfico da função
a partir das informações dadas.
i. O domínio de
é conjunto
ii.
é uma função par, isto é,
iii.
e
.
iv.
é crescente para
v.
é descrescente para
i. O domínio de
iv.
v.
Passo 1
O que o enunciado dá (vou listar tudo com clareza):
- Domínio:
. - Paridade:
é par, isto é, . - Valores conhecidos:
. - Monotonicidade no lado positivo:
-
é crescente em . -
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em .
-
- Pedido: esboçar o gráfico de
usando essas informações.
Passo 2
Entender o que significa ser função par e como isso ajuda no esboço (mini-aula):
- Definição:
é par se . Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo ). - Consequência prática: basta construir o ramo para
e depois refletir (espelhar) esse ramo para . - Exemplo simples: se numa função par
, então imediatamente . No desenho, o ponto tem um espelho em .
Passo 3
Obter os pontos do lado negativo por paridade:
- Pelo fato de
ser par e pelos valores dados: - De
segue . - De
segue . - De
segue .
- De
- Mantém-se
(origem).
Passo 4
Interpretação das monotonicidades no lado positivo (como usar no esboço):
- Em
a função é crescente: isso significa que, ao sair de para a direita até próximo de , os valores de aumentam. - Temos
. Logo, em a curva parte de e sobe (pode subir pouco ou muito — o enunciado não dá valores intermediários).
- Temos
- Em
a função também é crescente: portanto, entrando em (que está em ) a função segue subindo até . - Temos o dado específico
e . Como é crescente, os valores satisfazem ou seja, o valor imediatamente à direita de (denotado ) deve ser menor que . Não sabemos o valor numérico de , só que é menor que .
- Temos o dado específico
- Em
a função é decrescente: começa em e vai descendo até . Logo para os valores ficam entre e , decrescendo. - Em
a função é crescente: a partir de o gráfico sobe (valores > ou se aproxima de a partir de baixo e sobe; não temos valores numéricos adicionais).
Passo 5
O que sabemos sobre os pontos
(atenção importante):
-
estão fora do domínio — isto é obrigatório no desenho indicar que a função não está definida nesses . - O enunciado não fornece limites laterais
nem . Portanto não se pode afirmar se há uma assíntota vertical, um salto finito ou simplesmente um ponto removido (buraco). Na construção do esboço devemos indicar apenas que em a função é indefinida (por exemplo com um traço vertical pontilhado e/ou círculos abertos nos pontos onde a curva se aproxima de e ), sem atribuir um valor. - Observação útil: como
é par, os comportamentos à esquerda e à direita de e de estarão relacionados por simetria em relação ao eixo .
Passo 6
Determinar as monotonicidades no lado negativo usando a paridade (mini-demonstrativo):
- Proposição: se
é par e é crescente em um intervalo , então em é decrescente. Demonstração curta: - Seja
. Como é crescente em , . - Considere os pontos simétricos
(estes estão em ). Então e . - Assim
. Como e , a função decresce quando nos movemos para a direita em .
- Seja
- Aplicando essa ideia às informações dadas:
- Como
é crescente em , então é decrescente em . - Como
é crescente em , então é decrescente em . - Como
é decrescente em , então é crescente em . - Como
é crescente em , então é decrescente em .
- Como
Passo 7
Montagem do esboço — passo a passo de COMO desenhar (faça isso no papel):
- Desenhe os eixos
e . - Marque com uma cruz ou círculo aberto os pontos onde a função não está definida:
e (coloque uma linha vertical pontilhada em e ou apenas círculos abertos nas curvas onde elas se aproximam desses ). - Plote os pontos conhecidos (lado positivo) e seus espelhos (lado negativo):
-
. -
e o espelho . -
e o espelho . -
e o espelho .
-
- Construa a curva para
obedecendo às monotonicidades: - Em
: desenhe uma curva partindo de que sobe (crescente) quando vai para . Não conecte a (deixe a curva aproximar-se e terminar antes de ); marque que não está definida em . - Em
: desenhe a curva saindo de perto da vertical (em algum valor menor que , pois já vimos que ), subindo e passando por e indo até . - Em
: desenhe a curva descendo suavemente de até . - Em
: faça a curva subir novamente para a direita de .
- Em
- Reflita todo o ramo
para (espelhamento em relação ao eixo ), garantindo as monotonicidades já deduzidas no Passo 6: - Em particular, entre
a curva deve decrescer vindo da esquerda até . - Em
a curva também deve decrescer (espelho de ). - Em
a curva deve crescer (espelho de ). - Em
a curva deve decrescer (espelho de ).
- Em particular, entre
- Ao desenhar as conexões, mantenha a suavidade (curvas contínuas dentro de cada intervalo de definição) e não coloque pontos preenchidos em
(pois não pertencem ao domínio). - Legende os pontos importantes e, se quiser, desenhe setas nas extremidades para indicar comportamento para
(crescimento/decrescimento conforme as últimas monotonicidades).
Passo 8
Verificações rápidas para garantir consistência (checklist mental):
- Simetria: para cada parte direita do gráfico existe exatamente o espelho esquerdo.
- Pontos obrigatórios desenhados:
e seus reflexos em . - Em
há interrupção (não definir valor). - Em
a ordem de alturas obedece . - Em
os valores descem de para . - Monotonicidade invertida no lado negativo conforme Passo 6.
Passo 9
Dicas finais para desenhar com confiança (motivação rápida):
- Não precisa conhecer valores exatos entre os pontos — o esboço é qualitativo: o importante é respeitar paridade, pontos fixos e monotonicidades.
- Se estiver fazendo na prova, desenhe primeiro o lado direito com pontos marcados e depois faça o espelho — é a maneira mais rápida e segura.
- Lembre-se: deixe claramente indicado que
não pertencem ao domínio (círculos abertos ou linha pontilhada).
Resposta
Gráfico esboçado: função par (simétrica em relação ao eixo
), com pontos
e seus reflexos
; função indefinida em
(marcar buracos em
); monotonicidades:
- crescente em
, crescente em , decrescente em , crescente em ; - e, por paridade, decrescente em
, decrescente em , crescente em , decrescente em .