Esboce o gráfico da função f a partir das informações dadas.
i. D(f)=\{x \in \mathbb{R}: x \neq-0.5 e x \neq 2\}
ii. f(0)=0, f(1)=1 e f(-4)=0.5
iii. f é crescente para x \in(-4,-0.5) \cup(-0.5,0)
iv. f é decresnte para x \in(-\infty,-4) \cup(0,2) \cup(2,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f usando as informações fornecidas. Vou listar claramente tudo que foi dado:
  • Domínio: D(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq -0{,}5\\ \text{e}\\ x\neq 2\}.
  • Pontos com valor conhecido:
    • f(-4)=0{,}5.
    • f(0)=0.
    • f(1)=1.
  • Monotonicidade dada:
    • f é crescente em (-4,-0{,}5) e em (-0{,}5,0).
    • f é decrescente em (-\infty,-4), em (0,2) e em (2,+\infty).
  • A tarefa é apenas um esboço qualitativo: posicionar os pontos dados, indicar onde a função cresce/decresce e representar que f não está definida em x=-0{,}5 e x=2.

Passo 2

Entendendo o que significa “crescente” e “decrescente” (para a prova):
  • Uma função f é crescente em um intervalo I se, para quaisquer x_1,x_2\in I com x_1<x_2, tem-se f(x_1)\le f(x_2). Intuição simples: à medida que anda-se para a direita no eixo x, a altura f(x) sobe (ou fica igual).
    • Exemplo: g(x)=x é crescente em toda \mathbb{R} porque x_1<x_2\Rightarrow g(x_1)<g(x_2).
  • f é decrescente em I se x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2). Intuição: andando para a direita, o valor tende a cair.
    • Exemplo: h(x)=-x é decrescente em toda \mathbb{R}.
Esses conceitos vão guiar como ligar os pontos e o sentido das curvas no esboço.

Passo 3

Verificação de consistência entre pontos e monotonicidade (passo importante antes de desenhar):
  • Se f é decrescente em (0,2), então para 0<x_1<x_2<2 vale f(x_1)\ge f(x_2).
  • Tomando x_1=0 e x_2=1 (ambos em [0,2)), a decrescida em (0,2) implicaria f(0)\ge f(1).
  • Mas os dados dizem f(0)=0 e f(1)=1, ou seja f(0)<f(1). Isso contradiz a hipótese de que f é decrescente em (0,2).
Portanto há uma contradição entre os dados tal como apresentados.

Passo 4

Como proceder diante da contradição (decidir uma interpretação razoável para poder esboçar):
  • Não posso perguntar ao enunciador, então preciso escolher uma interpretação plausível que torne os dados consistentes.
  • Duas correções possíveis (sem mais informações) seriam:
    1. Corrigir a monotonicidade em (0,2) para “crescente” — assim f(0)=0 e f(1)=1 ficam coerentes.
    2. Manter “decrescente” e alterar o ponto f(1) (por exemplo f(1)<0) — isso muda um dos valores dados.
  • Optei pela opção (1): interpretar que, provavelmente por erro de escrita, f deveria ser crescente em (0,2). Justificativa curta: é a correção mínima que preserva os três valores dados e mantém uma transição natural ao redor de x=0 (já que f é crescente em (-0{,}5,0), faz sentido que continue subindo para um pouco além de 0 até 1). Essa é uma escolha razoável para produzir um esboço consistente. Vou, a partir daqui, assumir que f é crescente em (0,2).
Se o seu enunciado original não aceitava essa correção, avise depois; mas para estudar e praticar o esboço essa é a hipótese que vamos usar.

Passo 5

Regras práticas para o esboço (o que desenhar e como marcar):
  • Eixos: desenhe eixos x e y com escala aproximada. Marque os pontos x=-4, x=-0{,}5, x=0, x=1, x=2.
  • Marcar pontos dados:
    • Em x=-4 coloque um ponto preenchido em y=0{,}5 (porque f(-4)=0{,}5 está definido).
    • Em x=0 coloque um ponto preenchido em y=0.
    • Em x=1 coloque um ponto preenchido em y=1.
  • Pontos do domínio excluídos:
    • Em x=-0{,}5 e em x=2 a função não está definida. Trace linhas verticais tracejadas em x=-0{,}5 e em x=2 (opcional, para lembrar pontos singulares) e mostre os pontos limite com círculos abertos (se desenhar limite) ou apenas deixe claro que f não tem ponto preenchido aí.
  • Desenhar em cada intervalo usando monotonicidade (com a correção assumida):
    • Em (-\infty,-4): a função é decrescente. Assim, para x indo para a esquerda de -4 a curva sobe (porque ao ir para a direita ela desce até atingir y=0{,}5 em -4). Desenhe uma curva que venha de cima à esquerda (sem precisar fixar assíntota), decrescendo e passando por (-4,0{,}5).
    • Em (-4,-0{,}5): a função é crescente. A partir do ponto em -4 a curva sobe à medida que x vai para a direita, até chegar próximo a x=-0{,}5. Em x=-0{,}5 deixe um círculo aberto (ou um salto/assíntota vertical se preferir indicar crescimento grande). Não se pode ligar através de -0{,}5 porque f não existe ali.
    • Em (-0{,}5,0): novamente crescente. A partir da direita de -0{,}5 a curva continua subindo até atingir f(0)=0. Assim o valor à direita de -0{,}5 é menor que 0; a curva chega em 0 no ponto marcado.
    • Em (0,2): (assumido crescente) a função continua crescendo a partir de f(0)=0, passa por f(1)=1 e segue subindo até se aproximar de x=2. Em x=2 deixe um ponto aberto (função indefinida aí).
    • Em (2,+\infty): a função é decrescente. A partir do lado direito de x=2 a função deve começar em algum valor (o limite direito em 2 pode ser diferente do limite esquerdo) e depois descer conforme x aumenta. Desenhe uma curva decrescente à direita de 2.
  • Indicações visuais: desenhe pequenas setas ao longo de cada ramo para lembrar se ali a função está subindo (seta para cima ao andar para a direita) ou descendo (seta para baixo ao andar para a direita). Use círculos preenchidos nos pontos conhecidos e círculos vazados em -0{,}5 e 2.

Passo 6

Observações didáticas e dicas rápidas para a prova (como justificar o esboço em poucas linhas):
  • Sempre comece marcando o domínio e os pontos numéricos; pontos definidos com símbolo cheio, pontos excluídos com aberto.
  • A monotonicidade dita a “direção” do traço entre pontos: se no intervalo é crescente, ligue à direita subindo; se é decrescente, ligue descendo.
  • Quando um ponto do domínio é excluído ( x=-0{,}5 e x=2), não conecte os ramos através desse x — desenhe círculos abertos ou uma linha tracejada vertical para lembrar a descontinuidade.
  • Se houver contradição entre monotonicidade e valores numéricos, destaque a contradição (como fiz no passo 3). Em prova, escreva claramente qual hipótese foi adotada para resolver a contradição (por exemplo: "assumi que f é crescente em (0,2) para compatibilizar f(0)=0 e f(1)=1").

Passo 7

Resumo final do esboço que deve ficar no papel (passo-a-passo curto para desenhar):
  • Desenhe eixos e marque x=-4,\\\ -0{,}5,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2.
  • Pontos: preencha (-4,0{,}5), (0,0), (1,1).
  • Marque -0{,}5 e 2 como pontos onde f não existe (círculos vazios / linhas tracejadas).
  • Ramo esquerdo ( (-\infty,-4)): curva decrescente chegando a (-4,0{,}5).
  • Ramo intermediário 1 ( (-4,-0{,}5)): curva crescente saindo de (-4,0{,}5) e subindo até um círculo vazio em -0{,}5.
  • Ramo intermediário 2 ( (-0{,}5,0)): curva crescente saindo do círculo vazio em -0{,}5 e chegando em (0,0).
  • Ramo direito baixo ( (0,2), assumido crescente): curva crescente passando por (1,1) e terminando em um círculo vazio em 2.
  • Ramo direito extremo ( (2,\infty)): curva decrescente saindo do lado direito de 2 e descendendo para a direita.

Resposta

Assumindo que a monotonicidade em (0,2) é crescente (para tornar os dados consistentes), o esboço é: pontos preenchidos em (-4,0{,}5), (0,0), (1,1); círculos abertos em x=-0{,}5 e x=2 (função indefinida ali); ramo decrescente em (-\infty,-4) chegando a (-4,0{,}5); ramo crescente em (-4,-0{,}5) terminando em círculo aberto em -0{,}5; ramo crescente em (-0{,}5,0) chegando a (0,0); ramo crescente em (0,2) passando por (1,1) e terminando em círculo aberto em 2; ramo decrescente em (2,+\infty).

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