Esboce o gráfico da função
a partir das informações dadas.
i.
e
ii.
e
iii.
é crescente para
iv.
é decresnte para
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
usando as informações fornecidas. Vou listar claramente tudo que foi dado:
- Domínio:
. - Pontos com valor conhecido:
-
. -
. -
.
-
- Monotonicidade dada:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em , em e em .
-
- A tarefa é apenas um esboço qualitativo: posicionar os pontos dados, indicar onde a função cresce/decresce e representar que
não está definida em e .
Passo 2
Entendendo o que significa “crescente” e “decrescente” (para a prova):
- Uma função
é crescente em um intervalo se, para quaisquer com , tem-se . Intuição simples: à medida que anda-se para a direita no eixo , a altura sobe (ou fica igual). - Exemplo:
é crescente em toda porque .
- Exemplo:
-
é decrescente em se . Intuição: andando para a direita, o valor tende a cair. - Exemplo:
é decrescente em toda .
- Exemplo:
Esses conceitos vão guiar como ligar os pontos e o sentido das curvas no esboço.
Passo 3
Verificação de consistência entre pontos e monotonicidade (passo importante antes de desenhar):
- Se
é decrescente em , então para vale . - Tomando
e (ambos em ), a decrescida em implicaria . - Mas os dados dizem
e , ou seja . Isso contradiz a hipótese de que é decrescente em .
Portanto há uma contradição entre os dados tal como apresentados.
Passo 4
Como proceder diante da contradição (decidir uma interpretação razoável para poder esboçar):
- Não posso perguntar ao enunciador, então preciso escolher uma interpretação plausível que torne os dados consistentes.
- Duas correções possíveis (sem mais informações) seriam:
- Corrigir a monotonicidade em
para “crescente” — assim e ficam coerentes. - Manter “decrescente” e alterar o ponto
(por exemplo ) — isso muda um dos valores dados.
- Corrigir a monotonicidade em
- Optei pela opção (1): interpretar que, provavelmente por erro de escrita,
deveria ser crescente em . Justificativa curta: é a correção mínima que preserva os três valores dados e mantém uma transição natural ao redor de (já que é crescente em , faz sentido que continue subindo para um pouco além de até ). Essa é uma escolha razoável para produzir um esboço consistente. Vou, a partir daqui, assumir que é crescente em .
Se o seu enunciado original não aceitava essa correção, avise depois; mas para estudar e praticar o esboço essa é a hipótese que vamos usar.
Passo 5
Regras práticas para o esboço (o que desenhar e como marcar):
- Eixos: desenhe eixos
e com escala aproximada. Marque os pontos , , , , . - Marcar pontos dados:
- Em
coloque um ponto preenchido em (porque está definido). - Em
coloque um ponto preenchido em . - Em
coloque um ponto preenchido em .
- Em
- Pontos do domínio excluídos:
- Em
e em a função não está definida. Trace linhas verticais tracejadas em e em (opcional, para lembrar pontos singulares) e mostre os pontos limite com círculos abertos (se desenhar limite) ou apenas deixe claro que não tem ponto preenchido aí.
- Em
- Desenhar em cada intervalo usando monotonicidade (com a correção assumida):
- Em
: a função é decrescente. Assim, para indo para a esquerda de a curva sobe (porque ao ir para a direita ela desce até atingir em ). Desenhe uma curva que venha de cima à esquerda (sem precisar fixar assíntota), decrescendo e passando por . - Em
: a função é crescente. A partir do ponto em a curva sobe à medida que vai para a direita, até chegar próximo a . Em deixe um círculo aberto (ou um salto/assíntota vertical se preferir indicar crescimento grande). Não se pode ligar através de porque não existe ali. - Em
: novamente crescente. A partir da direita de a curva continua subindo até atingir . Assim o valor à direita de é menor que ; a curva chega em no ponto marcado. - Em
: (assumido crescente) a função continua crescendo a partir de , passa por e segue subindo até se aproximar de . Em deixe um ponto aberto (função indefinida aí). - Em
: a função é decrescente. A partir do lado direito de a função deve começar em algum valor (o limite direito em pode ser diferente do limite esquerdo) e depois descer conforme aumenta. Desenhe uma curva decrescente à direita de .
- Em
- Indicações visuais: desenhe pequenas setas ao longo de cada ramo para lembrar se ali a função está subindo (seta para cima ao andar para a direita) ou descendo (seta para baixo ao andar para a direita). Use círculos preenchidos nos pontos conhecidos e círculos vazados em
e .
Passo 6
Observações didáticas e dicas rápidas para a prova (como justificar o esboço em poucas linhas):
- Sempre comece marcando o domínio e os pontos numéricos; pontos definidos com símbolo cheio, pontos excluídos com aberto.
- A monotonicidade dita a “direção” do traço entre pontos: se no intervalo é crescente, ligue à direita subindo; se é decrescente, ligue descendo.
- Quando um ponto do domínio é excluído (
e ), não conecte os ramos através desse — desenhe círculos abertos ou uma linha tracejada vertical para lembrar a descontinuidade. - Se houver contradição entre monotonicidade e valores numéricos, destaque a contradição (como fiz no passo 3). Em prova, escreva claramente qual hipótese foi adotada para resolver a contradição (por exemplo: "assumi que
é crescente em para compatibilizar e ").
Passo 7
Resumo final do esboço que deve ficar no papel (passo-a-passo curto para desenhar):
- Desenhe eixos e marque
. - Pontos: preencha
, , . - Marque
e como pontos onde não existe (círculos vazios / linhas tracejadas). - Ramo esquerdo (
): curva decrescente chegando a . - Ramo intermediário 1 (
): curva crescente saindo de e subindo até um círculo vazio em . - Ramo intermediário 2 (
): curva crescente saindo do círculo vazio em e chegando em . - Ramo direito baixo (
, assumido crescente): curva crescente passando por e terminando em um círculo vazio em . - Ramo direito extremo (
): curva decrescente saindo do lado direito de e descendendo para a direita.
Resposta
Assumindo que a monotonicidade em
é crescente (para tornar os dados consistentes), o esboço é: pontos preenchidos em
,
,
; círculos abertos em
e
(função indefinida ali); ramo decrescente em
chegando a
; ramo crescente em
terminando em círculo aberto em
; ramo crescente em
chegando a
; ramo crescente em
passando por
e terminando em círculo aberto em
; ramo decrescente em
.