Determine as partes real a imaginária de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as partes real e imaginária da função complexa $ f(z) = \frac{z^{2} - 4i}{2z + 3i} $. Estamos trabalhando com números complexos, onde uma função pode ser dividida em partes real e imaginária. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões complexas, como multiplicar números complexos e racionalizar o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ como $ z = x + iy $, onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária. Isso nos ajuda a separar as partes real e imaginária das expressões.
Passo 3
Vamos começar calculando o numerador $ z^{2} - 4i $. Sabemos que $ z^{2} = (x + iy)^{2} = x^{2} + 2ixy - y^{2} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o denominador $ 2z + 3i $. Substituindo $ z $:
Passo 5
Temos agora a fração:
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ 2x + i(2y + 3) $ é $ 2x - i(2y + 3) $:
Passo 6
Vamos calcular o denominador primeiro:
Isso porque $ i^{2} = -1 $.
Passo 7
Agora, vamos expandir o numerador:
Simplificando cada termo:
- $ (x^{2} - y^{2})(2x) = 2x(x^{2} - y^{2}) $
- $ (x^{2} - y^{2})(-i)(2y + 3) = -i(2y + 3)(x^{2} - y^{2}) $
- $ i(2xy - 4)(2x) = 2ix(2xy - 4) $
- $ i(2xy - 4)(-i)(2y + 3) = -i^{2}(2xy - 4)(2y + 3) = (2xy - 4)(2y + 3) $
Juntando tudo:
Passo 8
Agora, separamos as partes real e imaginária:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 9
Finalmente, escrevemos $ f(z) $ como a soma da parte real e imaginária sobre o denominador que calculamos:
Ou seja:
Resposta
As partes real e imaginária da função $ f(z) = \frac{z^{2} - 4i}{2z + 3i} $ são: