Determine as partes real a imaginária de cada função:
f(z)=z^2-4 i2 z+3 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as partes real e imaginária da função complexa $ f(z) = \frac{z^{2} - 4i}{2z + 3i} $. Estamos trabalhando com números complexos, onde uma função pode ser dividida em partes real e imaginária. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões complexas, como multiplicar números complexos e racionalizar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ como $ z = x + iy $, onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária. Isso nos ajuda a separar as partes real e imaginária das expressões.

Passo 3

Vamos começar calculando o numerador $ z^{2} - 4i $. Sabemos que $ z^{2} = (x + iy)^{2} = x^{2} + 2ixy - y^{2} $. Então:
z^2 - 4i

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador $ 2z + 3i $. Substituindo $ z $:
2z + 3i

Passo 5

Temos agora a fração:
f(z) = (x^2 - y^2) + i(2xy - 4)2x + i(2y + 3)
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ 2x + i(2y + 3) $ é $ 2x - i(2y + 3) $:
2x + i(2y + 3)

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
(2x + i(2y + 3))(2x - i(2y + 3)) = (2x)^2 - [i(2y + 3)]^2 = 4x^2 - i^2(2y + 3)^2 = 4x^2 + (2y + 3)^2
Isso porque $ i^{2} = -1 $.

Passo 7

Agora, vamos expandir o numerador:
(x^2 - y^2)(2x) + (x^2 - y^2)(-i)(2y + 3) + i(2xy - 4)(2x) + i(2xy - 4)(-i)(2y + 3)
Simplificando cada termo:
  1. $ (x^{2} - y^{2})(2x) = 2x(x^{2} - y^{2}) $
  2. $ (x^{2} - y^{2})(-i)(2y + 3) = -i(2y + 3)(x^{2} - y^{2}) $
  3. $ i(2xy - 4)(2x) = 2ix(2xy - 4) $
  4. $ i(2xy - 4)(-i)(2y + 3) = -i^{2}(2xy - 4)(2y + 3) = (2xy - 4)(2y + 3) $
Juntando tudo:
(x^2 - y^2)(2x) = 2x(x^2 - y^2)

Passo 8

Agora, separamos as partes real e imaginária:
Parte real:
2x(x^2 - y^2) + (2xy - 4)(2y + 3)
Parte imaginária:
(-1)(2y + 3)(x^2 - y^2) + 2x(2xy - 4)
= -(2y + 3)(x^2 - y^2) + 4x^2y - 8x

Passo 9

Finalmente, escrevemos $ f(z) $ como a soma da parte real e imaginária sobre o denominador que calculamos:
f(z) á
Ou seja:
f(z) = Parte Real + i cdot Parte Imaginária4x^2 + (2y + 3)^2

Resposta

As partes real e imaginária da função $ f(z) = \frac{z^{2} - 4i}{2z + 3i} $ são:
f(z) = z^2 - 4i2z + 3i
Parte Real = 2x(x^2 - y^2) + (2xy - 4)(2y + 3)4x^2 + (2y + 3)^2 á

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