Dois vetores são definidos em um ponto P como sendo F=10 ar-3 atheta+5 aphi e G=2 ar+5 atheta+3 aphi. Determine no ponto P: um vetor unitário perpendicular a F e a G.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede um vetor unitário que seja perpendicular aos vetores
vec F = 10,vec ar -3,vec atheta +5,vec aphi e vec G = 2,vec ar +5,vec atheta +3,vec aphi
no ponto .
Conteúdo: vamos usar o produto vetorial (que gera um vetor perpendicular aos dois originais) e depois normalizar (dividir pela norma) para ficar unitário.

Passo 2

Teoria do produto vetorial
  1. Em bases ortonormais vec Ftimes vec G = vec ar & vec atheta & vec aphi Fr & Ftheta & Fphi Gr & Gtheta & Gphi , o produto vetorial pode ser calculado como determinante:
  1. Depois, a norma de um vetor é
    .
  2. O vetor unitário é .

Passo 3

Calcular vec Ftimesvec G = vec ar & vec atheta & vec aphi 10 & -3 & 5 2 & 5 & 3 = (Ftheta Gphi - Fphi Gtheta),vec ar + (Fphi Gr - Fr Gphi),vec atheta + (Fr Gtheta - Ftheta Gr),vec aphi usando determinante:
(;-!3cdot3 - 5cdot5,),vec ar = (-9-25),vec ar = -34,vec ar, (;5cdot2 - 10cdot3,),vec atheta = (10-30),vec atheta = -20,vec atheta, (;10cdot5 - (-3)cdot2,),vec aphi = (50+6),vec aphi = 56,vec aphi
Substituindo valores:
vec Ftimesvec G = -34,vec ar -20,vec atheta +56,vec aphi
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Passo 4

Calcular a norma de |vec Ftimesvec G| =raiz(-34)^2 + (-20)^2 + 56^2 =raiz1156 +400 +3136 =raiz4692 =2raiz1173 :

Passo 5

Obter o vetor unitário dividindo o produto vetorial pela norma:
hat u =vec Ftimesvec G|vec Ftimesvec G| =-34,vec ar -20,vec atheta +56,vec aphi2raiz1173 =-17,vec ar -10,vec atheta +28,vec aphiraiz1173

Resposta

boxedhat u =-17,vec ar ;-;10,vec atheta ;+;28,vec aphi raiz1173
Este vetor é unitário e perpendicular a e .

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