Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
6 y^prime prime-5 y^prime+y=0 ; y(0)=4 ; y^prime(0)=0

Passo 1

Temos a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 6y'' - 5y' + y = 0. As condições iniciais são y(0)=4 e y'(0)=0. Vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
6r^2 - 5r + 1 = 0
Calculamos o discriminante De. Assim as raízes são
r = 5 pm 112
ou seja r1 = tfrac12 e r2 = tfrac13.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^tfract2 + C2 e^tfract3

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, calculamos
y'(t) = C1 tfrac12 e^tfract2 + C2 tfrac13 e^tfract3
Em t=0 isso gera o sistema:
$$
C1 + C2 = 4, tfrac12 C1 + tfrac13 C2 = 0
$$
Multiplicando a segunda equação por 6: 3C1 + 2C2 = 0, logo C1 = -tfrac23C2. Substituindo em C1 + C2 = 4 obtemos -tfrac23C2 + C2 = 4, resultando em C2 = 12 e C1 = -8.

Passo 5

Logo, a solução particular que satisfaz y(0)=4 e y'(0)=0 é
y(t) = -8 e^tfract2 + 12 e^tfract3

Resposta

Solução geral:
y(t) = C1 e^tfract2 + C2 e^tfract3
Solução particular:
y(t) = -8 e^tfract2 + 12 e^tfract3

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