(vale
)
Considere a EDO
(a) (1,5 pts) Determine a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências de t que define a solução (geral) desta EDO.
(b) (
) A partir da fórmula de recorrência determinada no item anterior, encontre os coeficientes da série.
©
Determine a solução geral da EDO dada.
(d)
Qual o intervalo de convergência das soluções dadas pelo item anterior?
(b) (
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
E pede para resolver usando séries de potência. Basicamente, vamos usar uma série de potências para encontrar uma solução geral para essa EDO. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre séries de potência e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(t) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ t = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(t) $:
Passo 4
Substituindo $ y(t) $ e $ y’’(t) $ na EDO:
Vamos ajustar os índices para que ambas as séries tenham o mesmo expoente de $ t $.
Passo 5
Primeiro, na primeira soma, vamos substituir $ k = n - 2 $:
Na segunda soma, multiplicamos $ t^2 $ pela série:
Agora, para igualar os expoentes, ajustamos novamente o índice na segunda soma para $ k $.
Passo 6
Juntando as duas somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ t $, os coeficientes de cada $ t^k $ devem ser zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k \geq 2 $:
Essa é a fórmula de recorrência que relaciona os coeficientes $ a_{k+2} $ com $ a_{k-2} $.
Passo 8
Então, a fórmula de recorrência é:
Essa relação nos permite calcular todos os coeficientes da série a partir dos termos iniciais.
Resposta
A fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências que define a solução geral da EDO é: