Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
15. z=x^3 ln (1+x y^-3 / 5)

Passo 1

Temos a função z definida por z = x^{3} \ln\bigl(1 + x y^{-3/5}\bigr). O conteúdo principal aqui é derivada parcial, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular ∂z/∂x tomamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x^{3} \ln\bigl(1 + x y^{-3/5}\bigr). Primeiro derivamos x^{3}:
∂∂xl(x^3r) = 3x^2
Em seguida mantemos ln(1 + x y^{-3/5}) fixa. Depois aplicamos a regra da cadeia a ln(1 + x y^{-3/5}):
ddxlnl(1 + x y^-3/5r) = 11 + x y^-3/5 cdot y^-3/5
Somando os dois termos da regra do produto,
∂z∂x = 3x^2lnl(1 + x y^-3/5r) + x^3 cdot y^-3/51 + x y^-3/5

Passo 3

Para calcular ∂z/∂y tomamos x como constante e derivamos apenas o ln(1 + x y^{-3/5}), pois x^{3} é constante. Aplicando a regra da cadeia temos:
ddylnl(1 + x y^-3/5r) = 11 + x y^-3/5 cdot ddyl(x y^-3/5r)
Como x é constante,
ddyl(x y^-3/5r) = x cdot l(-35y^-8/5r) = -35x y^-8/5
Multiplicando por x^{3} e pelo termo da cadeia,
∂z∂y = x^3 cdot 11 + x y^-3/5 cdot l(-35x y^-8/5r) = -35,x^4 y^-8/51 + x y^-3/5

Resposta

∂z∂x = 3x^2lnl(1 + x y^-3/5r) + x^3 y^-3/51 + x y^-3/5, ∂z∂y = -35,x^4 y^-8/51 + x y^-3/5

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