Encontre as series de Taylor em x=0.
a) f sen(x / 2)

Passo 1

Esse exercício pede pra encontrar a série de Taylor em x=0 (ou série de Maclaurin) da função f(x)=sin(x/2). O conteúdo é expansão em série de funções, e a gente vai usar a série conhecida de sin u e depois só substituir u=x/2.

Passo 2

A gente lembra que para qualquer variável u, a série de Maclaurin de sin u é
sin u = sumn=0^infty (-1)^n u^2n+1(2n+1)!
Isso vem de calcular as derivadas de sin u em zero e montar a série.

Passo 3

Agora basta substituir u = x/2 na série:
sinl(x/2r) = sumn=0^infty (-1)^n (x/2)^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Podemos simplificar a potência:
(x/2)^2n+1 = x^2n+12^2n+1,
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sin(x/2) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!,2^2n+1

Passo 5

Se quisermos ver os primeiros termos, colocamos n=0,1,2,dots:
sin(x/2) = x2 - x^33!,2^3 + x^55!,2^5 - cdots = x2 - x^348 + x^53840 - cdots

Resposta

A série de Taylor (Maclaurin) de sin(x/2) em x=0 é
sin(x/2) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!,2^2n+1

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