Seja
Sejam
e
Utilizando a regra da cadeia, obtenha
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está na área de cálculo de derivadas parciais, mais especificamente usando a regra da cadeia. Precisamos encontrar as derivadas parciais de $ u(X(r, s), Y(r, s)) $ em relação a $ r $ e $ s $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
- $ u(x, y) = e{\frac{x}{y{2} + 1}} $
- $ X(r, s) = \frac{r^{2}}{s + 1} $
- $ Y(r, s) = \ln(r^{2} + s^{4} + 1) $
Queremos calcular $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial s} $.
Passo 3
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que, se temos uma função composta $ u(X(r, s), Y(r, s)) $, então:
e
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $, e também as derivadas de $ X $ e $ Y $ em relação a $ r $ e $ s $.
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ X $ e $ Y $ em relação a $ r $ e $ s $:
Para $ X(r, s) = \frac{r^{2}}{s + 1} $:
Para $ Y(r, s) = \ln(r^{2} + s^{4} + 1) $:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Para $ \frac{\partial u}{\partial r} $:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Para $ \frac{\partial u}{\partial s} $:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e