Seja
u(x, y)=e^xy^2+1
Sejam
X(r, s)=r^2s+1
e
Y(r, s)=ln (r^2+s^4+1)
Utilizando a regra da cadeia, obtenha
partial u(X(r, s), Y(r, s))partial r
e
partial u(X(r, s), Y(r, s))partial s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está na área de cálculo de derivadas parciais, mais especificamente usando a regra da cadeia. Precisamos encontrar as derivadas parciais de $ u(X(r, s), Y(r, s)) $ em relação a $ r $ e $ s $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
  • $ u(x, y) = e{\frac{x}{y{2} + 1}} $
  • $ X(r, s) = \frac{r^{2}}{s + 1} $
  • $ Y(r, s) = \ln(r^{2} + s^{4} + 1) $
Queremos calcular $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial s} $.

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que, se temos uma função composta $ u(X(r, s), Y(r, s)) $, então:
u(X(r, s), Y(r, s))
e
partial upartial r = partial upartial x cdot partial Xpartial r + partial upartial y cdot partial Ypartial r
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $, e também as derivadas de $ X $ e $ Y $ em relação a $ r $ e $ s $.

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
partial upartial x
partial upartial y

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ X $ e $ Y $ em relação a $ r $ e $ s $:
Para $ X(r, s) = \frac{r^{2}}{s + 1} $:
X
Y
Para $ Y(r, s) = \ln(r^{2} + s^{4} + 1) $:
r
s

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Para $ \frac{\partial u}{\partial r} $:
partial upartial r
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial upartial r = partial upartial x cdot partial Xpartial r + partial upartial y cdot partial Ypartial r
Simplificando:
= e^XY^2 + 1 cdot 1Y^2 + 1 cdot 2rs + 1 + e^XY^2 + 1 cdot ( -2XY(Y^2 + 1)^2 ) cdot 2rr^2 + s^4 + 1
Para $ \frac{\partial u}{\partial s} $:
partial upartial r = e^XY^2 + 1 ( 2r(Y^2 + 1)(s + 1) - 4rXY(Y^2 + 1)^2(r^2 + s^4 + 1) )
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial upartial s
Simplificando:
partial upartial s = partial upartial x cdot partial Xpartial s + partial upartial y cdot partial Ypartial s

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial r = e^XY^2 + 1 ( 2r(Y^2 + 1)(s + 1) - 4rXY(Y^2 + 1)^2(r^2 + s^4 + 1) )
e
partial upartial s = e^XY^2 + 1 ( -r^2(Y^2 + 1)(s + 1)^2 - 8s^3XY(Y^2 + 1)^2(r^2 + s^4 + 1) )

Exercícios relacionados