Determine \partial f / \partial \bar{v} com f(x, y)=x^{2}+y^{2} e \bar{v} dado por ( \sqrt{3} / 2,1 / 2 ).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
na direção do vetor unitário \bar v=(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12).
Para isso vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

O gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr).
Como
\tfrac{\partial f}{\partial x}=2x, \quad \tfrac{\partial f}{\partial y}=2y,
temos
\nabla f(x,y)=(2x,\,2y).

Passo 3

A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \bar v é
D_{\bar v}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\bar v.
Substituindo \nabla f(x,y)=(2x,2y) e \bar v=(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12), vem
D_{\bar v}f(x,y) =(2x,2y)\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr) =2x\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+2y\cdot\tfrac12.

Passo 4

Fazendo as simplificações:
2x\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=x\sqrt3, \quad 2y\cdot\tfrac12=y,
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D_{\bar v}f(x,y)=x\sqrt3+y.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial \bar v}(x,y)=x\sqrt3+y.

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