Determine partial fpartial x e partial fpartial y, sendo f(x, y)=cllx+y^4x^2+y^2 & , & se (x, y) neq(0,0), 0 & , & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx+y^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do quociente; no ponto (0,0) devemos aplicar a definição de derivada parcial via limite.]

Passo 2

Sejam
N(x,y)=x+y^4, D(x,y)=x^2+y^2
Para (x,y)neq(0,0), pela regra do quociente:
partial fpartial x = partialx Ncdot D - Ncdot partialx DD^2
Como partialx N=1 e partialx D=2x, temos
partial fpartial x(x,y) = 1cdot(x^2+y^2)-(x+y^4),2x(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2-2x^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2 - 2x,y^4(x^2+y^2)^2

Passo 3

Ainda para (x,y)neq(0,0), pela regra do quociente:
partial fpartial y = partialy Ncdot D - Ncdot partialy DD^2,
com partialy N=4y^3 e partialy D=2y. Logo,
partial fpartial y(x,y) = 4y^3,(x^2+y^2)-(x+y^4),2y(x^2+y^2)^2 = 4x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5(x^2+y^2)^2 = 4x^2y^3+2y^5-2x,y(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0), pela definição de derivada parcial em x:
partial fpartial x(0,0) = limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto0h+0h^2+0-0h = limhto01/hh = limhto01h^2,
que diverge. Portanto partial f/partial x(0,0) não existe (infinito).

Passo 5

No ponto (0,0), para a derivada parcial em y:
partial fpartial y(0,0) = limkto0f(0,k)-f(0,0)k = limkto00+k^40+k^2-0k = limkto0k^2k = limkto0k = 0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) = y^2 - x^2 - 2x,y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) = 4x^2y^3 + 2y^5 - 2x,y(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0) não existe, partial fpartial y(0,0)=0 ã

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