Uma partícula se move ao longo do eixo x. A função x(t) dá a posição da partícula em qualquer instante t >= 0 :
x(t)=-t^3-3 t^2+7 t-6
(a) (3 pontos) Qual é a velocidade v(t) da partícula em t=3 ?
(b) (3 pontos) Qual é a aceleração a(t) da partícula em t=3 ?
(c) (3 pontos) Em t=3, a partícula está acelerando, desacelerando ou nenhuma das duas opções?

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula ao longo do eixo x por
x(t) = -t^3 - 3,t^2 + 7,t - 6,
e pede (a) a velocidade em t=3, (b) a aceleração em t=3 e (c) se, nesse instante, a partícula acelera ou desacelera. Para resolver usamos derivadas: a velocidade é a primeira derivada de x(t) e a aceleração é a segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a velocidade genérica v(t) como
v(t) = dxdt = -3,t^2 ;-;6,t ;+;7

Passo 3

Agora avaliamos ,v(t) em t=3:
v(3) = -3cdot 3^2 ;-;6cdot 3 ;+;7 = -27 - 18 +7 = -38

Passo 4

Para a aceleração genérica a(t) derivamos v(t):
a(t) = dvdt = -6,t ;-;6

Passo 5

Avaliando em t=3:
a(3) = -6cdot 3 ;-;6 = -18 - 6 = -24

Passo 6

Em t=3, temos v(3) = -38 e a(3) = -24. Como o sinal da aceleração é o mesmo do da velocidade (ambos negativos), a força de aceleração atua no mesmo sentido do movimento, aumentando a rapidez da partícula. Logo, ela está acelerando.

Resposta

(a) v(3) = -38.\n(b) a(3) = -24.\n(c) A partícula está acelerando.

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