Verifique se os limites existem:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^3+y^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2y^2x^3+y^3
Isso é um problema de limites de funções de duas variáveis e vamos usar análise de caminhos (troca de variáveis ao longo de curvas) para testar se o valor é independente da direção de aproximação.

Passo 2

Uma abordagem clássica é checar as retas genéricas y=kx, com kneq -1 (pois k=-1 zera o denominador). Substituindo:
x^2y^2x^3+y^3 =x^2(kx)^2x^3+(kx)^3 =k^2x^4x^3(1+k^3) =k^21+k^3,x
e, ao levar xto0, esse quociente vai a zero para todo kneq -1. Ou seja, ao longo de qualquer reta que não seja y=-x, o limite dá zero.

Passo 3

Para investigar se aparece outro valor, escolhemos um caminho que fique próximo de y=-x, mas desviando em ordem maior. Tomemos
y=-x+c,x^2,
com cneq0. Vamos expandir para pequenos x:
y^2=(-x+c x^2)^2=x^2-2c x^3+O(x^4),
y^3=(-x+c x^2)^3=-x^3+3c x^4+O(x^5)
Então o numerador e denominador de f(x,y) ficam:
num=x^2y^2=x^4+O(x^5),
den=x^3+y^3=x^3- x^3+3c x^4+O(x^5)=3c x^4+O(x^5)
Logo
x^2y^2x^3+y^3simx^43c x^4=13c
Conforme o valor de c, esse limite pode ser qualquer 1/(3c), não apenas zero.

Passo 4

Como ao longo das retas y=kx (com kneq-1) o limite é zero e ao longo de y=-x+cx^2 o limite é 1/(3c) (que varia com c), concluímos que o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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