Verifique se os limites existem:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe o limite
Isso é um problema de limites de funções de duas variáveis e vamos usar análise de caminhos (troca de variáveis ao longo de curvas) para testar se o valor é independente da direção de aproximação.
Passo 2
Uma abordagem clássica é checar as retas genéricas
, com
(pois
zera o denominador). Substituindo:
e, ao levar
, esse quociente vai a zero para todo
. Ou seja, ao longo de qualquer reta que não seja
, o limite dá zero.
Passo 3
Para investigar se aparece outro valor, escolhemos um caminho que fique próximo de
, mas desviando em ordem maior. Tomemos
com
. Vamos expandir para pequenos
:
Então o numerador e denominador de
ficam:
Logo
Conforme o valor de
, esse limite pode ser qualquer
, não apenas zero.
Passo 4
Como ao longo das retas
(com
) o limite é zero e ao longo de
o limite é
(que varia com
), concluímos que o limite não é único e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.