Seja uma função dada por .
Verifique que é contínua em , mas não é diferenciável em .
Passo 1
O enunciado pede para a gente tomar a função
e verificar que ela é contínua em (0,0) mas não diferenciável lá. O conteúdo gira em torno de limites em , continuação de funções de duas variáveis e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Queremos mostrar primeiro que
para concluir continuidade. Note que para vale
Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), segue que f(x,y)to0=f(0,0), ou seja, f é contínua em (0,0).
Passo 3
Agora vamos checar as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00h=0,
pois f(h,0)=0. De modo análogo,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=limhto00h=0
Se f fosse diferenciável em (0,0), o diferencial seria a forma linear L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0.