Seja f uma função dada por f(x, y)=rllx y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0).
Verifique que f é contínua em (0,0), mas não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para a gente tomar a função
f(x,y)=xy^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e verificar que ela é contínua em (0,0) mas não diferenciável lá. O conteúdo gira em torno de limites em R^2, continuação de funções de duas variáveis e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Queremos mostrar primeiro que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
para concluir continuidade. Note que para (x,y)neq(0,0) vale
l|f(x,y)r|=|xy^2x^2+y^2|=|x|,y^2x^2+y^2<=|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2=|x|
Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), segue que f(x,y)to0=f(0,0), ou seja, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora vamos checar as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00h=0,
pois f(h,0)=0. De modo análogo,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=limhto00h=0
Se f fosse diferenciável em (0,0), o diferencial seria a forma linear L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0.

Passo 4

Para testar diferenciabilidade, checamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=lim(x,y)to(0,0)f(x,y)raizx^2+y^2
Na reta y=x temos
f(x,x)=x,x^2x^2+x^2=x^32x^2= x2,
então
f(x,x)raizx^2+x^2=x/2raiz2,|x|=sgn(x)2raiz2,
que não tende a zero. Logo essa razão não vai a zero e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0), mas não é diferenciável em (0,0).

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