(2.0) Determine
onde
no seguinte caso:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! A gente precisa calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ u $, onde $ h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é um lance fundamental em cálculo multivariável. Vamos precisar saber calcular derivadas parciais de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Nosso objetivo é achar
, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de $ f $:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $:
Passo 6
Substituindo tudo na regra da cadeia:
Agora, lembrando que $ x = u^{2} v $ e $ y = u v^{2} $, podemos substituir:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial
é: