(2.0) Determine partial hpartial u onde h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)) no seguinte caso:
ll z=f(x, y)=x^3-x^2 y+4 y, & x=g1(u, v)=u^2 v, y=g2(u, v)=u v^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! A gente precisa calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ u $, onde $ h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é um lance fundamental em cálculo multivariável. Vamos precisar saber calcular derivadas parciais de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
f(x, y) = x^3 - x^2 y + 4 y
x = g1(u, v) = u^2 v
y = g2(u, v) = u v^2
Nosso objetivo é achar partial hpartial u, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
partial hpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u
Então, precisamos calcular partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de $ f $:
f
partial fpartial x = 3x^2 - 2x y

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $:
x
y

Passo 6

Substituindo tudo na regra da cadeia:
partial hpartial u = (3x^2 - 2x y) cdot 2u v + (-x^2 + 4) cdot v^2
Agora, lembrando que $ x = u^{2} v $ e $ y = u v^{2} $, podemos substituir:
x = u^2 v
Simplificando:
y = u v^2
partial hpartial u = (3(u^2 v)^2 - 2(u^2 v)(u v^2)) cdot 2u v + (-(u^2 v)^2 + 4) cdot v^2
partial hpartial u = (3u^4 v^2 - 2u^3 v^3) cdot 2u v + (-u^4 v^2 + 4) cdot v^2

Resposta

A derivada parcial partial hpartial u é:
partial hpartial u = 6u^5 v^3 - 5u^4 v^4 + 4v^2

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