(2.0) Calcule a derivada direcional
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=√(x²+y²) no ponto p=(1,1) na direção de v=(1,1). O conteúdo aqui é derivada direcional usando gradiente, e vamos precisar da definição que diz que ∂f/∂v§=∇f§·u, onde u é o vetor direção unitário.
Passo 2
Para achar o gradiente ∇f(x,y), lembramos que f(x,y)=√(x²+y²) pode ser escrita como (x²+y²)^{1/2}. Aplicando derivadas parciais: ∂f/∂x = x/√(x²+y²) e ∂f/∂y = y/√(x²+y²). Assim,
Passo 3
Agora avaliamos esse gradiente no ponto p=(1,1). Substituindo x=1 e y=1 em ∇f(x,y) temos:
Passo 4
O próximo passo é obter o vetor direção unitário u a partir de v=(1,1). O comprimento de v é ||v||=√(1²+1²)=√2, então
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre ∇f(1,1) e u. Calculamos:
Resposta
1