(2.0) Calcule a derivada direcional partial fpartial v(p) onde
f(x, y)=raizx^2+y^2, p=(1,1) e v=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=√(x²+y²) no ponto p=(1,1) na direção de v=(1,1). O conteúdo aqui é derivada direcional usando gradiente, e vamos precisar da definição que diz que ∂f/∂v§=∇f§·u, onde u é o vetor direção unitário.

Passo 2

Para achar o gradiente ∇f(x,y), lembramos que f(x,y)=√(x²+y²) pode ser escrita como (x²+y²)^{1/2}. Aplicando derivadas parciais: ∂f/∂x = x/√(x²+y²) e ∂f/∂y = y/√(x²+y²). Assim,
∇f(x,y)=l(xraizx^2+y^2,yraizx^2+y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos esse gradiente no ponto p=(1,1). Substituindo x=1 e y=1 em ∇f(x,y) temos:
∇f(1,1)=l(1raiz1^2+1^2,1raiz1^2+1^2r)=l(1raiz2,1raiz2r)

Passo 4

O próximo passo é obter o vetor direção unitário u a partir de v=(1,1). O comprimento de v é ||v||=√(1²+1²)=√2, então
u=v||v||=l(1raiz2,1raiz2r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre ∇f(1,1) e u. Calculamos:
partial fpartial v(p)=nabla f(1,1)cdot u=1raiz2cdot1raiz2+1raiz2cdot1raiz2=12+12=1

Resposta

1

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