Determine
e
sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as derivadas parciais de $ y $ em relação a $ x $ ($ \frac{\partial y}{\partial x} $) e de $ f $ em relação a $ y $ ($ \frac{\partial f}{\partial y} $). A função $ f(x, y) $ está definida de duas maneiras: uma quando $ (x, y) $ não é igual a $ (0,0) $ e outra quando $ (x, y) = (0,0) $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como aplicá-las em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $ ($ \frac{\partial f}{\partial x} $) mede como $ f $ muda quando apenas $ x $ varia, mantendo $ y $ constante. O mesmo vale para $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
No caso de $ \frac{\partial y}{\partial x} $, isso geralmente se refere à derivada de $ y $ em relação a $ x $ quando $ y $ é uma função de $ x $. No entanto, se $ y $ for uma variável independente, $ \frac{\partial y}{\partial x} $ será simplesmente zero.
Passo 3
Vamos começar determinando $ \frac{\partial y}{\partial x} $. Se considerarmos $ y $ como uma variável independente de $ x $, a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Isso porque, sendo $ y $ independente de $ x $, mudanças em $ x $ não afetam $ y $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $. A função $ f(x, y) $ é definida de forma diferente dependendo se $ (x, y) $ é igual a $ (0,0) $ ou não.
Primeiro, consideremos o caso quando $ (x, y) \neq (0,0) $:
Para encontrar $ \frac{\partial f}{\partial y} $, usaremos a regra do quociente, que diz que se $ f = \frac{u}{v} $, então:
Aqui, $ u = x + y^{4} $ e $ v = x^{2} + y^{2} $. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, substituindo na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando os termos no numerador:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso quando $ (x, y) = (0,0) $. A função $ f(0,0) = 0 $. Para encontrar $ \frac{\partial f}{\partial y} $ nesse ponto, precisamos verificar o limite que define a derivada:
Calculando $ f(0, h) $:
Então:
Resposta
Portanto, as derivadas parciais são:
e