Dê exemplo de uma função real de duas variáveis que seja não integrável em uma dada região r de R^wed>= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma função real de duas variáveis que não seja integrável em uma certa região de . Isso está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente à integrabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que faz uma função ser integrável ou não em uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável. Basicamente, uma função é integrável em uma região se conseguimos calcular a integral dupla dela sobre essa região. Para que isso aconteça, a função precisa ser bem-comportada; ou seja, ela não pode ter muitas descontinuidades ou comportamentos estranhos que dificultem a soma das infinitas pequenas “partes” da função.

Passo 3

Agora, para encontrar uma função que não é integrável, precisamos de uma função que não seja bem-comportada. Um jeito clássico de fazer isso é criar uma função que tenha descontinuidades em muitos pontos, de forma que a integral não consiga “capturar” bem o comportamento da função.

Passo 4

Vamos considerar a seguinte função:
f(x, y) = 1, & se x e y forem números racionais 0, & caso contrário úá
Essa função é conhecida como a função característica dos racionais no plano.

Passo 5

Vamos analisar por que essa função não é integrável na região . Note que tanto os números racionais quanto os irracionais são densos em , ou seja, entre quaisquer dois números existem infinitos racionais e irracionais. Isso faz com que a função tenha uma descontinuidade em todo ponto da região .

Passo 6

Para a função ser Riemann integrável, o conjunto dos pontos de descontinuidade deve ter medida nula. No nosso caso, os pontos de descontinuidade são todos os pontos da região , que claramente não têm medida nula. Portanto, a função não satisfaz os critérios para ser integrável de Riemann.

Resposta

Um exemplo de função real de duas variáveis que não é integrável na região f(x, y) = 1, & se x e y forem números racionais 0, & caso contrário é:
úá
Essa função não é integrável na região porque possui descontinuidades em todos os pontos, impedindo a existência da integral dupla de Riemann.

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