Dê exemplo de uma função real de duas variáveis que seja não integrável em uma dada região r de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma função real de duas variáveis que não seja integrável em uma certa região
de
. Isso está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente à integrabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que faz uma função ser integrável ou não em uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável. Basicamente, uma função
é integrável em uma região
se conseguimos calcular a integral dupla dela sobre essa região. Para que isso aconteça, a função precisa ser bem-comportada; ou seja, ela não pode ter muitas descontinuidades ou comportamentos estranhos que dificultem a soma das infinitas pequenas “partes” da função.
Passo 3
Agora, para encontrar uma função que não é integrável, precisamos de uma função que não seja bem-comportada. Um jeito clássico de fazer isso é criar uma função que tenha descontinuidades em muitos pontos, de forma que a integral não consiga “capturar” bem o comportamento da função.
Passo 4
Vamos considerar a seguinte função:
Essa função é conhecida como a função característica dos racionais no plano.
Passo 5
Vamos analisar por que essa função não é integrável na região
. Note que tanto os números racionais quanto os irracionais são densos em
, ou seja, entre quaisquer dois números existem infinitos racionais e irracionais. Isso faz com que a função
tenha uma descontinuidade em todo ponto da região
.
Passo 6
Para a função ser Riemann integrável, o conjunto dos pontos de descontinuidade deve ter medida nula. No nosso caso, os pontos de descontinuidade são todos os pontos da região
, que claramente não têm medida nula. Portanto, a função
não satisfaz os critérios para ser integrável de Riemann.
Resposta
Um exemplo de função real de duas variáveis que não é integrável na região
é:
Essa função não é integrável na região
porque possui descontinuidades em todos os pontos, impedindo a existência da integral dupla de Riemann.