Encontre cada derivada parcial usando a regra da cadeia:
partial wpartial x, onde w=integral1^u e^sin t d t e u=x^2-5 y

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função definida por
w=integral1^ue^sin t,dt
e a variável de integração superior é
$$
u=x^{2}-5y$$
O conteúdo aqui é derivada de integral dependente de parâmetro (Teorema Fundamental do Cálculo) e regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se definirmos
F(u)=integral1^ue^sin t,dt
então
dFdu=e^sin u
Logo
partial wpartial u=e^sin u

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de u em relação a x. Como
u=x^2-5y
temos
partial upartial x=2x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
partial wpartial x=partial wpartial ucdotpartial upartial x=e^sin ucdot2x
Substituindo u=x^2-5y, concluímos que
partial wpartial x=2x,e^sin(x^2-5y)

Resposta

partial wpartial x=2x,e^sin(x^2-5y)

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