Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
13. z=4 e^x^2 y^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z = 4 e{x{2} y^{3}}.
O conteúdo envolvido é derivada de exponencial e aplicação da regra da cadeia. Vamos precisar reconhecer u = x^{2} y^{3} e usar ∂/∂x (e^{u}) e ∂/∂y (e^{u}).

Passo 2

Para encontrar ∂z/∂x, note que z = 4 e^{u} com u = x^{2} y^{3}. Aplicando a regra da cadeia:
A derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} e a derivada de u em relação a x é 2x y^{3}. Assim:
partial zpartial x = 4 ; e^u cdot partial upartial x = 4 ; e^x^2 y^3 cdot (2x y^3) = 8x y^3 , e^x^2 y^3

Passo 3

Para encontrar ∂z/∂y, usamos de novo z = 4 e^{u} com u = x^{2} y^{3}. A derivada de u em relação a y é 3 x^{2} y^{2}. Logo:
partial zpartial y = 4 ; e^u cdot partial upartial y = 4 ; e^x^2 y^3 cdot (3 x^2 y^2) = 12 x^2 y^2 , e^x^2 y^3

Resposta

partial zpartial x=8,x,y^3,e^x^2y^3, partial zpartial y=12,x^2,y^2,e^x^2y^3.

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