Exercício 3: Avalie a integral definida.
(d) integral1^2 e^1 / xx^2 d x

Passo 1

Estamos com a integral definida de 1 a 2 de e^1/xx^2,dx. Isso envolve técnica de substituição em integrais, pois vemos e^1/x e um x^-2 que lembra a derivada de 1/x.

Passo 2

Escolhemos a substituição u=tfrac1x. Então du=-tfrac1x^2,dx, ou seja, tfrace^1/xx^2,dx = -e^u,du. Precisamos também trocar os limites: quando x=1, u=1/1=1; quando x=2, u=1/2.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral1^2e^1/xx^2,dx = -integralu=1^u=1/2e^u,du
Invertemos os limites para retirar o sinal negativo:
-integral1^1/2e^u,du = integral1/2^1e^u,du

Passo 4

Agora basta integrar e^u. Sabemos que a antiderivada de e^u é e^u. Logo:
integral1/2^1e^u,du = l[e^ur]1/2^1 = e^1 - e^1/2

Resposta

e - e^{1/2}

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