Determine partial zpartial x e partial zpartial y se z=f(x, y) é definida implicitamente por x^2 z^2+x y^2-z^3+4 y z-5=0.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que estamos enfrentando aqui. Temos uma função x^2 z^2 + x y^2 - z^3 + 4 y z - 5 = 0 que está definida de maneira implícita pela equação:
O que precisamos fazer é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar o método da diferenciação implícita, que nos permite encontrar essas derivadas quando a função não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx( x^2 z^2 + x y^2 - z^3 + 4 y z - 5 ) = 0 . Lembre-se que é uma função de e , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de ambos os lados em relação a fica assim:
Vamos diferenciar termo a termo.

Passo 3

Diferenciando cada termo em relação a 2x z^2 + 2x^2 z partial zpartial x + y^2 - 3z^2 partial zpartial x + 4y partial zpartial x = 0 :

  1. Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

  2. é tratado como constante quando derivamos em relação a .

  3. Aplicamos a regra da cadeia.

  4. Novamente, regra da cadeia.

  5. A derivada de uma constante é zero.
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos coletar os termos que contêm (2x^2 z - 3z^2 + 4y) partial zpartial x = -2x z^2 - y^2 :
partial zpartial x = -2x z^2 - y^22x^2 z - 3z^2 + 4y
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para encontrar ddy( x^2 z^2 + x y^2 - z^3 + 4 y z - 5 ) = 0 . Diferenciando ambos os lados da equação original em relação a 2x^2 z partial zpartial y + 2x y - 3z^2 partial zpartial y + 4z + 4y partial zpartial y = 0 :
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 6

Coletando os termos com (2x^2 z - 3z^2 + 4y) partial zpartial y = -2x y - 4z :
partial zpartial y = -2x y - 4z2x^2 z - 3z^2 + 4y
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2x z^2 - y^22x^2 z - 3z^2 + 4y
e
partial zpartial y = -2x y - 4z2x^2 z - 3z^2 + 4y

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