Determine
e
se
é definida implicitamente por
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que estamos enfrentando aqui. Temos uma função
que está definida de maneira implícita pela equação:
O que precisamos fazer é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o método da diferenciação implícita, que nos permite encontrar essas derivadas quando a função não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de ambos os lados em relação a
fica assim:
Vamos diferenciar termo a termo.
Passo 3
Diferenciando cada termo em relação a
:
-
Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia. -
é tratado como constante quando derivamos em relação a . -
Aplicamos a regra da cadeia. -
Novamente, regra da cadeia. -
A derivada de uma constante é zero.
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos coletar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, vamos repetir o processo para encontrar
. Diferenciando ambos os lados da equação original em relação a
:
Diferenciando termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 6
Coletando os termos com
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e