Determine
, sabendo que
é uma função dada implicitamente por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
está definida por uma equação implícita:
Vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para encontrar derivadas quando
está misturado com outras variáveis numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando a gente derivar termos que envolvem
, precisa aplicar a regra da cadeia.
Diferenciando o lado esquerdo:
Para
, usamos a regra da cadeia:
Para
, aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, diferenciando o lado direito:
Aqui também usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, juntando tudo que diferenciamos:
Lado esquerdo:
Igualando ao lado direito:
Passo 5
Vamos isolar
. Primeiro, movemos os termos sem a derivada para o outro lado:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: