Determine partial zpartial x, sabendo que z=z(x, y) é uma função dada implicitamente por
e^z y+x z^2=6 x y^4 z^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de e^z y + x z^2 = 6 x y^4 z^3 em relação a , ou seja, . A função está definida por uma equação implícita:
Vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para encontrar derivadas quando está misturado com outras variáveis numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(e^z y) + ddx(x z^2) . Lembre-se que e^z y cdot (y cdot partial zpartial x) é uma função de z^2 + x cdot 2 z cdot partial zpartial x e , então quando a gente derivar termos que envolvem , precisa aplicar a regra da cadeia.
Diferenciando o lado esquerdo:
Para , usamos a regra da cadeia:
Para , aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, diferenciando o lado direito:
ddx(6 x y^4 z^3)
Aqui também usamos a regra do produto:
6 y^4 z^3 + 6 x y^4 cdot 3 z^2 cdot partial zpartial x
Simplificando:
6 y^4 z^3 + 18 x y^4 z^2 cdot partial zpartial x

Passo 4

Agora, juntando tudo que diferenciamos:
Lado esquerdo:
e^z y cdot y cdot partial zpartial x + z^2 + 2 x z cdot partial zpartial x
Igualando ao lado direito:
6 y^4 z^3 + 18 x y^4 z^2 cdot partial zpartial x

Passo 5

Vamos isolar e^z y cdot y cdot partial zpartial x + 2 x z cdot partial zpartial x - 18 x y^4 z^2 cdot partial zpartial x = 6 y^4 z^3 - z^2 . Primeiro, movemos os termos sem a derivada para o outro lado:
(e^z y y + 2 x z - 18 x y^4 z^2) cdot partial zpartial x = 6 y^4 z^3 - z^2
Fatorando :

Passo 6

Agora, resolvemos para partial zpartial x = 6 y^4 z^3 - z^2e^z y y + 2 x z - 18 x y^4 z^2 :

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial x = 6 y^4 z^3 - z^2e^z y y + 2 x z - 18 x y^4 z^2 em relação a é:

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