Determine, a partir das E.C.R. e continuidade das derivadas parciais, onde existe
e encontre seu valor quando:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui pede para descobrir onde a derivada de $ f(z) $, ou seja, $ f’(z) $, existe usando as Condições de Cauchy-Riemann e a continuidade das derivadas parciais. A função que estamos trabalhando é $ f(z) = \frac{z}{2i}(z - \overline{z}) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco das condições para uma função ser diferenciável no contexto dos números complexos, usando as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) $ de forma mais simples. Sabemos que $ z = x + iy $ e $ \overline{z} = x - iy $, onde $ x $ e $ y $ são as partes real e imaginária de $ z $, respectivamente. Então:
Simplificando o que está dentro dos parênteses:
Então, agora temos:
Os 2’s cancelam:
Multiplicando:
Agora, podemos expressar $ f(z) $ em termos de suas partes real ($ u
v $):
Passo 3
Agora, para verificar onde $ f(z) $ é diferenciável, ou seja, onde $ f’(z) $ existe, vamos usar as Condições de Cauchy-Riemann. Essas condições dizem que, para $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, as seguintes equações devem ser satisfatórias:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, aplicando as Condições de Cauchy-Riemann:
Passo 5
Vamos analisar as equações:
- $ y = 2y $ implica que $ y = 0 $.
- $ x = 0 $.
Então, para que as Condições de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas, precisamos que $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Ou seja, a única solução é $ z = 0 $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ f’(z) $ em $ z = 0 $. Usando a definição de derivada para funções de uma variável complexa, mas como já sabemos que $ f(z) = xy + i y^2 $, vamos calcular as derivadas parciais nesse ponto.
Como $ x = 0 $ e $ y = 0 $:
Portanto, as derivadas parciais são todas zero em $ z = 0 $, o que significa que $ f’(0) = 0 $.
Resposta
A derivada $ f’(z) $ existe apenas em $ z = 0 $ e seu valor nesse ponto é $ f’(0) = 0 $.