Use as E.C.R. para mostrar que f^prime(z) e f^prime prime(z) existem em toda parte e encontre f^prime prime(z) quando:
f(z)=e^-x e^-i y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(z) = e^{-x} e^{-i y} $, onde $ z = x + i y $. A pergunta quer que usemos as Equações de Cauchy-Riemann (ECR) para mostrar que as derivadas primeiras $ f’(z) $ e segundas $ f’’(z) $ existem em todo lugar e, em seguida, encontrar $ f’’(z) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são condições que uma função complexa precisa satisfazer para ser diferenciável (ou analítica) em um ponto. Se $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, então as ECR são:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
Isso significa que, para $ f(z) $ ser diferenciável, essas igualdades precisam valer.

Passo 3

Agora, vamos escrever nossa função $ f(z) $ na forma $ u(x, y) + i v(x, y) $. Temos:
f(z)
Então, identificamos:
u(x, y) + i v(x, y)

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as ECR.
Primeiro, a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
u
Depois, a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $:
x
Agora, a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $:
partial upartial x = -e^-x cos y
E a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $:
u

Passo 5

Vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. partial upartial x = -e^-x cos y e partial vpartial y = -e^-x cos y. Então, partial upartial x = partial vpartial y.
  2. partial upartial y = -e^-x sin y e partial vpartial x = e^-x sin y. Então, partial upartial y = -partial vpartial x.
Como ambas as equações são satisfeitas, as ECR são válidas, o que significa que $ f(z) $ é diferenciável em todo lugar (é uma função analítica).

Passo 6

Agora que sabemos que $ f(z) $ é diferenciável, podemos encontrar sua derivada. A derivada de $ f(z) $ em termos de $ z $ é dada por:
f(z)
Substituindo os valores que calculamos:
f(z)

Passo 7

Para encontrar a segunda derivada $ f’’(z) $, basta derivarmos $ f’(z) $ em relação a $ z $:
f''(z)
Já sabemos que $ f’(z) = -f(z) $, então:
f'(z)

Resposta

A segunda derivada de $ f(z) $ é igual à própria função:
f(z)

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