Use as E.C.R. para mostrar que
e
existem em toda parte e encontre
quando:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(z) = e^{-x} e^{-i y} $, onde $ z = x + i y $. A pergunta quer que usemos as Equações de Cauchy-Riemann (ECR) para mostrar que as derivadas primeiras $ f’(z) $ e segundas $ f’’(z) $ existem em todo lugar e, em seguida, encontrar $ f’’(z) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são condições que uma função complexa precisa satisfazer para ser diferenciável (ou analítica) em um ponto. Se $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, então as ECR são:
Isso significa que, para $ f(z) $ ser diferenciável, essas igualdades precisam valer.
Passo 3
Agora, vamos escrever nossa função $ f(z) $ na forma $ u(x, y) + i v(x, y) $. Temos:
Então, identificamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as ECR.
Primeiro, a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
Depois, a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $:
Agora, a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $:
E a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $:
Passo 5
Vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann:
-
e . Então, . -
e . Então, .
Como ambas as equações são satisfeitas, as ECR são válidas, o que significa que $ f(z) $ é diferenciável em todo lugar (é uma função analítica).
Passo 6
Agora que sabemos que $ f(z) $ é diferenciável, podemos encontrar sua derivada. A derivada de $ f(z) $ em termos de $ z $ é dada por:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Para encontrar a segunda derivada $ f’’(z) $, basta derivarmos $ f’(z) $ em relação a $ z $:
Já sabemos que $ f’(z) = -f(z) $, então:
Resposta
A segunda derivada de $ f(z) $ é igual à própria função: