Use as E.C.R. para encontrar onde não existe
:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem a função $ f(z) = e^{x} e^{-i y} $, onde $ z = x + i y $. A pergunta é para usar as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) e descobrir onde a derivada de $ f $, ou seja, $ f’(z) $, não existe. Para isso, vamos precisar entender as E.C.R. e como aplicá-las nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são um conjunto de duas equações que uma função complexa precisa satisfazer para ser diferenciável em um ponto, ou seja, para ter uma derivada nesse ponto. Se a função não satisfizer essas equações, a derivada não existe aí.
As E.C.R. são dadas por:
onde $ u(x, y) $ é a parte real da função $ f(z) $ e $ v(x, y) $ é a parte imaginária.
Passo 3
Vamos expressar a função $ f(z) = e^{x} e^{-i y} $ em termos das partes real e imaginária. Sabemos que $ e^{-i y} = \cos y - i \sin y $. Então,
Portanto, a parte real $ u(x, y) $ é $ e^{x} \cos y $ e a parte imaginária $ v(x, y) $ é $ -e^{x} \sin y $.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as E.C.R.
Primeiro, calculemos $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Depois, $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Agora, $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
E $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
Passo 5
Vamos agora verificar as Equações de Cauchy-Riemann com essas derivadas.
Primeira ECR:
Para que a primeira ECR seja satisfeita, precisamos que $ e^{x} \cos y = -e^{x} \cos y $. Isso só acontece quando $ e^{x} \cos y = 0 $.
Sabemos que $ e^{x} $ nunca é zero para nenhum valor real de $ x $. Então, $ \cos y $ deve ser zero.
Segunda ECR:
Aqui, temos $ -e^{x} \sin y = -e^{x} \sin y $, que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de $ x $ e $ y $.
Passo 6
Concluímos que as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando $ \cos y = 0 $. Vamos identificar onde isso acontece.
$ \cos y = 0 $ quando $ y = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é um inteiro qualquer.
Resposta
A derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe para os valores de $ y $ que satisfazem $ y = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer número inteiro.