Determine, a partir das E.C.R. em coord. polares e da continuidade das derivadas parciais, onde existe f^prime(z) e encontre seu valor quando:
f(z)=log z com Dom f=(r, theta) ; r> 0 e -pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função $ f(z) = \log z $ tem derivada complexa, usando as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) em coordenadas polares. Além disso, devemos considerar a continuidade das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de variáveis complexas, derivadas complexas e as E.C.R. em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função logarítmica complexa é definida. Em coordenadas polares, qualquer número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = r e^{i\theta} $, onde $ r > 0 $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento de $ z $. Assim, a função $ \log z $ pode ser expressa como:
z
Aqui, $ \ln r $ é a parte real e $ \theta $ é a parte imaginária.

Passo 3

Agora, para verificar onde $ f(z) $ é diferenciável, precisamos usar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Essas equações relacionam as derivadas parciais das partes real e imaginária da função. Se $ f(z) = u(r,\theta) + i v(r,\theta) $, então as E.C.R. são:
f(z)
f(z) = u(r,theta) + i v(r,theta)

Passo 4

Vamos identificar $ u $ e $ v $ para a nossa função $ f(z) = \log z $:
u
v
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
f(z) = log z
u(r, theta) = ln r
v(r, theta) = theta
partial upartial r = 1r

Passo 5

Substituindo essas derivadas nas E.C.R.:
Para a primeira equação:
1r = 1r cdot 1 Rightarrow 1r = 1r
Isso está sempre verdadeiro para $ r > 0 $.
Para a segunda equação:
r > 0
Também é sempre verdadeiro.

Passo 6

Então, as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o domínio dado, ou seja, para $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta < \pi $.

Passo 7

Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais. As derivadas $ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} $ e $ \frac{\partial v}{\partial \theta} = 1 $ são contínuas no domínio $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta < \pi $.

Passo 8

Como as E.C.R. são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas no domínio, concluímos que a função $ f(z) = \log z $ é diferenciável em todo o seu domínio.

Passo 9

Finalmente, para encontrar a derivada $ f’(z) $, sabemos que para $ f(z) = \log z $, a derivada é:
f'(z)

Resposta

A função $ f(z) = \log z $ é diferenciável em todo o seu domínio $ {(r, \theta) ; r > 0 e -\pi < \theta < \pi} $, e sua derivada é $ f’(z) = \dfrac{1}{z} $.

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