Determine, a partir das E.C.R. em coord. polares e da continuidade das derivadas parciais, onde existe
e encontre seu valor quando:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função $ f(z) = \log z $ tem derivada complexa, usando as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) em coordenadas polares. Além disso, devemos considerar a continuidade das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de variáveis complexas, derivadas complexas e as E.C.R. em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função logarítmica complexa é definida. Em coordenadas polares, qualquer número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = r e^{i\theta} $, onde $ r > 0 $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento de $ z $. Assim, a função $ \log z $ pode ser expressa como:
Aqui, $ \ln r $ é a parte real e $ \theta $ é a parte imaginária.
Passo 3
Agora, para verificar onde $ f(z) $ é diferenciável, precisamos usar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Essas equações relacionam as derivadas parciais das partes real e imaginária da função. Se $ f(z) = u(r,\theta) + i v(r,\theta) $, então as E.C.R. são:
Passo 4
Vamos identificar $ u $ e $ v $ para a nossa função $ f(z) = \log z $:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas nas E.C.R.:
Para a primeira equação:
Isso está sempre verdadeiro para $ r > 0 $.
Para a segunda equação:
Também é sempre verdadeiro.
Passo 6
Então, as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o domínio dado, ou seja, para $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta < \pi $.
Passo 7
Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais. As derivadas $ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} $ e $ \frac{\partial v}{\partial \theta} = 1 $ são contínuas no domínio $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta < \pi $.
Passo 8
Como as E.C.R. são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas no domínio, concluímos que a função $ f(z) = \log z $ é diferenciável em todo o seu domínio.
Passo 9
Finalmente, para encontrar a derivada $ f’(z) $, sabemos que para $ f(z) = \log z $, a derivada é:
Resposta
A função $ f(z) = \log z $ é diferenciável em todo o seu domínio $ {(r, \theta) ; r > 0 e -\pi < \theta < \pi} $, e sua derivada é $ f’(z) = \dfrac{1}{z} $.