Como estamos trabalhando com $ t \geq 0 $ (Transformada de Laplace é definida para $ t \geq 0 $), ignoramos $ t \leq -3 $.
Então, a função de passo $ u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $ é igual a 1 para $ 0 \leq t \leq \sqrt{5} $ e para $ t \geq 3 $, e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função $ f(t) $ utilizando a função de Heaviside:
f(t)
Aqui, $ u(t) $ é a função de Heaviside que começa em $ t = 0 $, $ u(t - \sqrt{5}) $ que começa em $ t = \sqrt{5} $ e $ u(t - 3) $ que começa em $ t = 3 $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função $ f(t) $:
f(t)
De acordo com a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, podemos separar a transformada:
Vamos calcular cada uma dessas transformadas individualmente.
Primeiro, L t^2 e^-t :
Sabemos que a Transformada de Laplace de $ t^{n} e^{-\alpha t} $ é:
t^n e^-alpha t
Aqui, $ n = 2 $ e $ \alpha = 1 $. Então:
L t^n e^-alpha t = n!(s + alpha)^n+1
Passo 6
Agora, vamos calcular L t^2 e^-t u(t - a) , onde $ a $ será $ \sqrt{5} $ e 3, respectivamente.
A propriedade da Transformada de Laplace para funções retardadas (multiplicadas por $ u(t - a) $) é:
a
Aplicando isso para $ t^{2} e^{-t} u(t - a) $, temos que substituir $ t $ por $ t + a $:
raiz5
Vamos simplificar $ (t + a)^{2} e^{-(t + a)} $:
u(t - a)
Então:
L f(t) u(t - a) = e^-a s L f(t + a)
Isso nos dá:
t^2 e^-t u(t - a)
Sabemos que $ \mathcal{L}{ t^{n} } = \frac{n!}{s^{n+1}} $, mas aqui temos um termo considerando deslocamento e expansão. Para simplificar, assumimos que $ a $ é constante, e focamos na estrutura da Transformada.
Passo 7
Devido à complexidade dos termos com $ a = \sqrt{5} $ e $ a = 3 $, podemos expressar a Transformada final como:
a = raiz5
Resposta
A Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} e^{-t} u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $ é: