Vamos calcular a Transformada de Laplace da função:
f(t)=t^2 e^-t u(|t^2-7|-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} e^{-t} u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $.
Matéria envolvida: Transformada de Laplace, funções por partes e propriedades das funções de passo (função de Heaviside).
O que vamos precisar:
  • Conhecer a definição da Transformada de Laplace.
  • Saber lidar com funções de Heaviside para expressar funções por partes.
  • Aplicar propriedades de deslocamento e linearidade da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de passo $ u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $.
A função $ u(x) $ é a função de Heaviside, que é igual a 0 para $ x < 0 $ e 1 para $ x \geq 0 $.
Então, temos $ u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $. Vamos resolver a inequação dentro da função de Heaviside:
u(|t^2-7|-2)
Isso significa que $ t^{2} - 7 \geq 2 $ ou $ t^{2} - 7 \leq -2 $.
Vamos resolver cada caso:
  1. $ t^{2} - 7 \geq 2 \Rightarrow t^{2} \geq 9 \Rightarrow t \geq 3 $ ou $ t \leq -3 $
  2. $ t^{2} - 7 \leq -2 \Rightarrow t^{2} \leq 5 \Rightarrow -\sqrt{5} \leq t \leq \sqrt{5} $
Como estamos trabalhando com $ t \geq 0 $ (Transformada de Laplace é definida para $ t \geq 0 $), ignoramos $ t \leq -3 $.
Então, a função de passo $ u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $ é igual a 1 para $ 0 \leq t \leq \sqrt{5} $ e para $ t \geq 3 $, e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função $ f(t) $ utilizando a função de Heaviside:
f(t)
Aqui, $ u(t) $ é a função de Heaviside que começa em $ t = 0 $, $ u(t - \sqrt{5}) $ que começa em $ t = \sqrt{5} $ e $ u(t - 3) $ que começa em $ t = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função $ f(t) $:
f(t)
De acordo com a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, podemos separar a transformada:
Lf(t) = L t^2 e^-t [ u(t) - u(t - raiz5) + u(t - 3) ]

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas transformadas individualmente.
Primeiro, L t^2 e^-t :
Sabemos que a Transformada de Laplace de $ t^{n} e^{-\alpha t} $ é:
t^n e^-alpha t
Aqui, $ n = 2 $ e $ \alpha = 1 $. Então:
L t^n e^-alpha t = n!(s + alpha)^n+1

Passo 6

Agora, vamos calcular L t^2 e^-t u(t - a) , onde $ a $ será $ \sqrt{5} $ e 3, respectivamente.
A propriedade da Transformada de Laplace para funções retardadas (multiplicadas por $ u(t - a) $) é:
a
Aplicando isso para $ t^{2} e^{-t} u(t - a) $, temos que substituir $ t $ por $ t + a $:
raiz5
Vamos simplificar $ (t + a)^{2} e^{-(t + a)} $:
u(t - a)
Então:
L f(t) u(t - a) = e^-a s L f(t + a)
Isso nos dá:
t^2 e^-t u(t - a)
Sabemos que $ \mathcal{L}{ t^{n} } = \frac{n!}{s^{n+1}} $, mas aqui temos um termo considerando deslocamento e expansão. Para simplificar, assumimos que $ a $ é constante, e focamos na estrutura da Transformada.

Passo 7

Devido à complexidade dos termos com $ a = \sqrt{5} $ e $ a = 3 $, podemos expressar a Transformada final como:
a = raiz5

Resposta

A Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} e^{-t} u\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $ é:
f(t) = t^2 e^-t u(|t^2-7|-2)

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