Determine, a partir das E.C.R. e continuidade das derivadas parciais, onde existe f^prime(z) e encontre seu valor quando:
f(z)=x^2+i y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir onde a derivada complexa $ f’(z) $ existe para a função $ f(z) = x^{2} + i y^{2} $. Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) e a continuidade das derivadas parciais. Basicamente, vamos verificar se a função é diferenciável em algum ponto no plano complexo seguindo umas regrinhas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função $ f(z) $ em suas partes real e imaginária. Isso é importante porque as E.C.R. lidam com essas duas partes separadamente.
Temos:
f(z)
Onde:
f(z) = u(x, y) + i , v(x, y)

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para a função ser diferenciável em um ponto, as seguintes igualdades devem ser satisfeitas:
partial upartial x = partial vpartial y partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial upartial x = 2x partial upartial y = 0 partial vpartial x = 0 partial vpartial y = 2y
Substituindo nas E.C.R.:
2x = 2y 0 = 0
A primeira equação nos diz que $ 2x = 2y $, ou seja, $ x = y $. A segunda equação é sempre verdadeira. Então, a função $ f(z) $ só satisfaz as E.C.R. quando $ x = y $.

Passo 4

Agora que sabemos que $ f(z) $ é diferenciável apenas quando $ x = y $, vamos encontrar o valor da derivada $ f’(z) $ nesse caso.
A derivada $ f’(z) $ pode ser calculada usando:
f(z)
Substituindo as derivadas que já calculamos:
x = y
Como $ x = y $ nesse ponto, podemos também expressar $ f’(z) $ em termos de $ y $, mas geralmente deixamos em função de $ x $.

Resposta

A derivada $ f^{\prime}(z) $ existe apenas quando $ x = y $ e, nesse caso, seu valor é:
f^prime(z)

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