Determine, a partir das E.C.R. em coord. polares e da continuidade das derivadas parciais, onde existe f^prime(z) e encontre seu valor quando:
f(z)=e^-theta cos (ln r)+i e^-theta sen(ln r) com
Dom f=(r, theta) ; r>0 e 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir onde a derivada de $ f(z) $, chamada de $ f’(z) $, existe usando as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) em coordenadas polares. Além disso, precisamos encontrar o valor dessa derivada para a função dada:
f(z)
Aqui, $ r $ e $ \theta $ são as coordenadas polares, e estamos trabalhando no domínio onde $ r > 0 $ e $ 0 < \theta < 2\pi $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar as E.C.R. em coordenadas polares e garantir que as derivadas parciais sejam contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Se $ f(z) = u(r,\theta) + i v(r,\theta) $, as E.C.R. em coordenadas polares são:
f(z) = u(r,theta) + i v(r,theta)
partial upartial r = 1r partial vpartial theta
Essas equações são essenciais para que uma função seja analítica (ou seja, diferenciável) no sentido complexo em um domínio.

Passo 3

Vamos identificar as partes reais e imaginárias da função $ f(z) $:
f(z)
u(r,theta) = e^-theta cos (ln r)
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ r $ e $ \theta $.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Para $ u(r,\theta) $:
u(r,theta)
partial upartial r = e^-theta cdot ddr cos (ln r) = e^-theta cdot (-sin(ln r)) cdot 1r
Para $ v(r,\theta) $:
partial upartial theta = -e^-theta cos (ln r)
v(r,theta)

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas nas E.C.R. em coordenadas polares:
Primeira E.C.R.:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta
Substituindo:
- e^-theta sin(ln r)r = 1r cdot (-e^-theta sin (ln r))
Simplificando:
- e^-theta sin(ln r)r = - e^-theta sin (ln r)r
Essa igualdade é verdadeira para todo $ r $ e $ \theta $.

Passo 6

Segunda E.C.R.:
partial vpartial r = -1r partial upartial theta
Substituindo:
e^-theta cos(ln r)r = -1r cdot (-e^-theta cos (ln r))
Simplificando:
e^-theta cos(ln r)r = e^-theta cos (ln r)r
Essa igualdade também é verdadeira para todo $ r $ e $ \theta $.

Passo 7

Como ambas as E.C.R. estão satisfeitas para todo $ r > 0 $ e $ 0 < \theta < 2\pi $, e as derivadas parciais são contínuas nesse domínio, concluímos que $ f(z) $ é diferenciável (analítica) em todo o seu domínio. Assim, a derivada $ f’(z) $ existe em todo ponto do domínio.

Passo 8

Agora, para encontrar o valor de $ f’(z) $, usamos a fórmula em coordenadas polares:
f'(z)
Substituindo as derivadas que calculamos:
f'(z) = partial upartial r + 1r partial vpartial theta i
Simplificando:
f'(z) = ( -e^-theta sin(ln r)r ) + 1r cdot (-e^-theta sin (ln r)) i

Resposta

A derivada $ f’(z) $ existe em todo o domínio dado e é igual a:
f'(z)

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