Determine, a partir das E.C.R. em coord. polares e da continuidade das derivadas parciais, onde existe
e encontre seu valor quando:
com
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir onde a derivada de $ f(z) $, chamada de $ f’(z) $, existe usando as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) em coordenadas polares. Além disso, precisamos encontrar o valor dessa derivada para a função dada:
Aqui, $ r $ e $ \theta $ são as coordenadas polares, e estamos trabalhando no domínio onde $ r > 0 $ e $ 0 < \theta < 2\pi $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar as E.C.R. em coordenadas polares e garantir que as derivadas parciais sejam contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Se $ f(z) = u(r,\theta) + i v(r,\theta) $, as E.C.R. em coordenadas polares são:
Essas equações são essenciais para que uma função seja analítica (ou seja, diferenciável) no sentido complexo em um domínio.
Passo 3
Vamos identificar as partes reais e imaginárias da função $ f(z) $:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ r $ e $ \theta $.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Para $ u(r,\theta) $:
Para $ v(r,\theta) $:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas nas E.C.R. em coordenadas polares:
Primeira E.C.R.:
Substituindo:
Simplificando:
Essa igualdade é verdadeira para todo $ r $ e $ \theta $.
Passo 6
Segunda E.C.R.:
Substituindo:
Simplificando:
Essa igualdade também é verdadeira para todo $ r $ e $ \theta $.
Passo 7
Como ambas as E.C.R. estão satisfeitas para todo $ r > 0 $ e $ 0 < \theta < 2\pi $, e as derivadas parciais são contínuas nesse domínio, concluímos que $ f(z) $ é diferenciável (analítica) em todo o seu domínio. Assim, a derivada $ f’(z) $ existe em todo ponto do domínio.
Passo 8
Agora, para encontrar o valor de $ f’(z) $, usamos a fórmula em coordenadas polares:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A derivada $ f’(z) $ existe em todo o domínio dado e é igual a: