Use o conhecimento de regras de derivação para encontrar
se:
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de $ f(z) = \frac{(1 + z{2}){4}}{z^{2}} $ usando as regras de derivação. Para isso, vamos precisar conhecer a regra do quociente e a regra do produto, além de como derivar potências de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar $ f(z) $ como um produto:
Assim, fica mais fácil aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Vamos identificar as duas partes da função para aplicar a regra do produto:
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ u(z) $. Aplicando a regra da cadeia, onde a derivada de $ (g(z))^{n} $ é $ n \cdot (g(z))^{n-1} \cdot g’(z) $:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(z) = z^{-2} $. Usando a regra da potência, onde a derivada de $ z^{n} $ é $ n \cdot z^{n-1} $:
Passo 5
Agora que temos $ u’(z) $ e $ v’(z) $, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo separadamente:
Então:
Resposta
A derivada de $ f(z) $ é: