Use o conhecimento de regras de derivação para encontrar f^prime(z) se:
f(z)=(1+z^2)^4z^2 com z neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de $ f(z) = \frac{(1 + z{2}){4}}{z^{2}} $ usando as regras de derivação. Para isso, vamos precisar conhecer a regra do quociente e a regra do produto, além de como derivar potências de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar $ f(z) $ como um produto:
f(z)
Assim, fica mais fácil aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Vamos identificar as duas partes da função para aplicar a regra do produto:
u(z) = (1 + z^2)^4 e v(z) = z^-2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ u(z) $. Aplicando a regra da cadeia, onde a derivada de $ (g(z))^{n} $ é $ n \cdot (g(z))^{n-1} \cdot g’(z) $:
u(z)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(z) = z^{-2} $. Usando a regra da potência, onde a derivada de $ z^{n} $ é $ n \cdot z^{n-1} $:
v(z) = z^-2

Passo 5

Agora que temos $ u’(z) $ e $ v’(z) $, aplicamos a regra do produto:
u'(z)
Substituindo os valores que encontramos:
v'(z)

Passo 6

Vamos simplificar cada termo separadamente:
8z cdot z^-2 = 8z^-1 = 8z
Então:
f'(z) = 8z cdot (1 + z^2)^3 - 2z^3 cdot (1 + z^2)^4

Resposta

A derivada de $ f(z) $ é:
f(z)

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