Use as E.C.R. para mostrar que
e
existem em toda parte e encontre
quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) para mostrar que as derivadas primeira e segunda de $ f(z) $, ou seja, $ f’(z) $ e $ f’’(z) $, existem em todo lugar no plano complexo. Além disso, precisamos encontrar $ f’’(z) $ para a função dada:
Para isso, vamos precisar conhecer as E.C.R., que são condições fundamentais para que uma função seja diferenciável no sentido complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Se uma função $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ é diferenciável em um ponto, então as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ devem satisfazer:
Essas condições garantem que a função seja analítica, ou seja, que ela tenha derivadas de todas as ordens no plano complexo.
Passo 3
Vamos identificar as partes real $ u(x,y) $ e imaginária $ v(x,y) $ da função $ f(z) $:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar as E.C.R.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de $ u $ e $ v $:
Para $ u(x, y) $:
Para $ v(x, y) $:
Passo 5
Agora, vamos verificar se as E.C.R. são satisfeitas:
- Verificando $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $:
Está certo!
- Verificando $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $:
Também está certo!
Passo 6
Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo, podemos concluir que $ f(z) $ é analítica em todas as partes, ou seja, $ f’(z) $ e $ f’’(z) $ existem em todo lugar.
Passo 7
Agora, vamos encontrar $ f’’(z) $. Primeiro, vamos calcular $ f’(z) $. Sabemos que para funções analíticas:
Usando as derivadas que calculamos:
Agora, para encontrar $ f’’(z) $, derivamos $ f’(z) $:
Mas como $ f(z) $ é analítica, podemos usar a regra da derivação para funções analíticas:
No entanto, para simplificar, vamos usar as propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Observando a forma de $ f(z) $, percebemos que:
Portanto, derivando duas vezes: