Use as E.C.R. para mostrar que f^prime(z) e f^prime prime(z) existem em toda parte e encontre f^prime prime(z) quando:
f(z)=cos x(e^y+e^-y)-i sen x(e^y-e^-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.) para mostrar que as derivadas primeira e segunda de $ f(z) $, ou seja, $ f’(z) $ e $ f’’(z) $, existem em todo lugar no plano complexo. Além disso, precisamos encontrar $ f’’(z) $ para a função dada:
f(z)
Para isso, vamos precisar conhecer as E.C.R., que são condições fundamentais para que uma função seja diferenciável no sentido complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Se uma função $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ é diferenciável em um ponto, então as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ devem satisfazer:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
u
Essas condições garantem que a função seja analítica, ou seja, que ela tenha derivadas de todas as ordens no plano complexo.

Passo 3

Vamos identificar as partes real $ u(x,y) $ e imaginária $ v(x,y) $ da função $ f(z) $:
u(x,y)
v(x,y)
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar as E.C.R.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de $ u $ e $ v $:
Para $ u(x, y) $:
u
v
Para $ v(x, y) $:
u(x, y)
partial upartial x = -sin x (e^y + e^-y)

Passo 5

Agora, vamos verificar se as E.C.R. são satisfeitas:
  1. Verificando $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $:
partial upartial x = partial vpartial y
Está certo!
  1. Verificando $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $:
-sin x (e^y + e^-y) = -sin x (e^y + e^-y)
partial upartial y = -partial vpartial x
Também está certo!

Passo 6

Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo, podemos concluir que $ f(z) $ é analítica em todas as partes, ou seja, $ f’(z) $ e $ f’’(z) $ existem em todo lugar.

Passo 7

Agora, vamos encontrar $ f’’(z) $. Primeiro, vamos calcular $ f’(z) $. Sabemos que para funções analíticas:
f''(z)
Usando as derivadas que calculamos:
f'(z)
f'(z) = partial upartial x + i partial vpartial x
Agora, para encontrar $ f’’(z) $, derivamos $ f’(z) $:
f'(z) = -sin x (e^y + e^-y) + i (-cos x (e^y - e^-y))
Mas como $ f(z) $ é analítica, podemos usar a regra da derivação para funções analíticas:
f'(z) = -sin x (e^y + e^-y) - i cos x (e^y - e^-y)
No entanto, para simplificar, vamos usar as propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Observando a forma de $ f(z) $, percebemos que:
f''(z)
Portanto, derivando duas vezes:
f'(z)
f''(z) = partialpartial z ( -sin x (e^y + e^-y) - i cos x (e^y - e^-y) )

Resposta

f''(z) = -cos z - i sin z

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