Use as E.C.R. para encontrar onde não existe f^prime(z) :
f(z)=e^-barz

Passo 1

O enunciado pede pra usar as Equações de Cauchy–Riemann (E.C.R.) pra descobrir onde a função não é diferenciável no sentido complexo. O conteúdo aqui é analisar diferenciabilidade de f em
f(z)=e^{-\bar z}
e vamos precisar expressar f em termos de suas partes real e imaginária e aplicar as E.C.R.

Passo 2

Primeiro escrevemos z=x+iy e então
f(z)=e^-bar z=e^-(x-iy)=e^-x+iy=e^-x(cos y+isin y)
Dessa forma definimos as partes real e imaginária:
u(x,y)=e^{-x}\cos y
v(x,y)=e^{-x}\sin y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
u_x=-e^{-x}\cos y, u_y=-e^{-x}\sin y
v_x=-e^{-x}\sin y, v_y= e^{-x}\cos y

Passo 4

As E.C.R. exigem
u_x=v_y e u_y=-v_x.
Substituindo as derivadas temos
  • e^{-x}\cos y = e^{-x}\cos y ⇒ 2e^{-x}\cos y=0 ⇒ \cos y=0
  • e^{-x}\sin y = -(-e^{-x}\sin y) ⇒ -e^{-x}\sin y = e^{-x}\sin y ⇒ 2e^{-x}\sin y=0 ⇒ \sin y=0

Passo 5

As duas condições simultâneas seriam
\cos y=0 e \sin y=0
porém não existe valor de y que satisfaça ao mesmo tempo sin y=0 e cos y=0. Logo, as E.C.R. nunca se cumprem em nenhum ponto do plano.

Passo 6

Concluímos que f(z)=e^{-\bar z} não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em parte alguma, ou seja, não é diferenciável em nenhum z.

Resposta

f^{\prime}(z) não existe para nenhum z do plano complexo.

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