Use as E.C.R. para encontrar onde não existe
:
Passo 1
O enunciado pede para usar as equações de Cauchy–Riemann para descobrir onde f′(z) não existe para a função f(z)=e^y e^{i x}. O conteúdo é diferencial de funções de variável complexa e vamos precisar escrever f em termos de suas partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) e testar as E.C.R.
Passo 2
Escrevemos f(z)=e^y e^{i x}=e^y(
cos x + isin x). Assim definimos
cos x + isin x). Assim definimos
$$u(x,y)=e^y
\cos x,\quad v(x,y)=e^y\sin x.$$
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
$$u_x=-e^y\sin x,
\quad u_y=e^y\cos x,$$
$$v_x=e^y\cos x,
\quad v_y=e^y\sin x.$$
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo, obtemos
Não há x que satisfaça simultaneamente
e
.
Passo 5
Como não existe ponto (x,y) que satisfaça as duas condições, as E.C.R. falham em todo o plano. Logo f não é diferenciável em nenhum z.
Resposta
f’(z) não existe para nenhum z \in \mathbb{C}.