Use as E.C.R. para encontrar onde não existe f^prime(z) :
f(z)=e^y e^i x

Passo 1

O enunciado pede para usar as equações de Cauchy–Riemann para descobrir onde f ′(z) não existe para a função f(z)=e^y e^{i x}. O conteúdo é diferencial de funções de variável complexa e vamos precisar escrever f em termos de suas partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) e testar as E.C.R.

Passo 2

Escrevemos f(z)=e^y e^{i x}=e^y(
cos x + i sin x). Assim definimos
$$u(x,y)=e^y
\cos x,\quad v(x,y)=e^y\sin x.$$

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
$$u_x=-e^y\sin x,
\quad u_y=e^y\cos x,$$
$$v_x=e^y\cos x,
\quad v_y=e^y\sin x.$$

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
ux=vy e uy=-vx
Substituindo, obtemos
-e^ysin x = e^ysin x Rightarrow -sin x=sin x Rightarrow sin x=0,
e^ycos x = -e^ycos x Rightarrow cos x=-cos x Rightarrow cos x=0
Não há x que satisfaça simultaneamente sin x=0 e cos x=0.

Passo 5

Como não existe ponto (x,y) que satisfaça as duas condições, as E.C.R. falham em todo o plano. Logo f não é diferenciável em nenhum z.

Resposta

f’(z) não existe para nenhum z \in \mathbb{C}.

Exercícios relacionados