Determine o que se pede a partir das condições que são dadas
Se f(2)=1 e f(x y)=f(x)+f(y). Determine f(16)

Passo 1

O enunciado dá uma função f tal que f(xy)=f(x)+f(y) e informa que f(2)=1; precisamos achar f(16). O conteúdo é uma função que transforma produto em soma, semelhante a logaritmo, e vamos usar essa propriedade para potências de 2.

Passo 2

Vamos mostrar por indução que para todo n natural vale f(2^n)=n·f(2). Base n=1: f(2^1)=f(2)=1=f(2). Supondo f(2^k)=k·f(2), então f(2{k+1})=f(2k·2)=f(2^k)+f(2)=k·f(2)+f(2)=(k+1)·f(2). Logo a fórmula vale para todo n.

Passo 3

Como 16=2^4 e f(2)=1, substituímos n=4 na fórmula f(2^n)=n·f(2) para obter f(16)=4·1=4.

Resposta

4

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