Lembramos que para todo
temos
. Lembramos também que para todo
temos
e
. Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência e achar o raio de convergência :
. Dica : voce pode verificar que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
, identificando também o raio de convergência. O conteúdo principal é manipulação de séries de potências e uso das expansões de
. Vamos usar a dica que reescreve o numerador em função de
.
Passo 2
Usando a dica, escrevemos
Então o termo geral fica
Passo 3
Agora separamos em três séries:
Passo 4
Cada soma é uma série conhecida:
-
-
-
.
Substituindo, resulta
Passo 5
Podemos reescrever de forma única:
Essa expressão equivale à soma da série para todo
.
Passo 6
Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão em
: como os fatoriais crescem mais rápido, obtemos
.
Resposta
A soma da série é
e o raio de convergência é
.