Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=0^+infty x^n=11-x. Lembramos também que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=sen x. Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência e achar o raio de convergência :
sumn=0^+infty 2 n^2-n+1(n+1)! x^n. Dica : voce pode verificar que 2 n^2-n+1=2(n+1) n-3(n+1)+4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=0^infty2n^2 - n +1(n+1)!x^n, identificando também o raio de convergência. O conteúdo principal é manipulação de séries de potências e uso das expansões de e^x. Vamos usar a dica que reescreve o numerador em função de (n+1).

Passo 2

Usando a dica, escrevemos
2n^2 - n +1 = 2(n+1)n - 3(n+1) + 4
Então o termo geral fica
2n^2 - n +1(n+1)!x^n = 2(n+1)n(n+1)!x^n - 3(n+1)(n+1)!x^n + 4(n+1)!x^n

Passo 3

Agora separamos em três séries:
sumn=0^infty2nn!x^n ;- ;3sumn=0^inftyx^nn! ;+ ;4sumn=0^inftyx^n(n+1)!

Passo 4

Cada soma é uma série conhecida:
  • sumn=0^inftyx^nn!=e^x
  • sumn=0^inftyn x^nn!=x e^x
  • sumn=0^inftyx^n(n+1)!=e^x -1x.
    Substituindo, resulta
S(x)=2l(x e^xr)-3e^x+4e^x -1x

Passo 5

Podemos reescrever de forma única:
S(x)=e^x(2x-3)+4(e^x-1)x
Essa expressão equivale à soma da série para todo x.

Passo 6

Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão em 2n^2-n+1(n+1)!: como os fatoriais crescem mais rápido, obtemos R=+infty.

Resposta

A soma da série é
S(x)=e^x(2x-3)+4l(e^x-1r)x,
e o raio de convergência é R=+infty.

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