Determine o que se pede a seguir para as funções f e g definidas por:
f(x)=rll raiz9+3 x^2, & se & x<0 -x^2+4 x-5, & se & x >= 0 e g(x)=rll x^2+2 x+3, & se & x <= 1 -raiz12 x^2-3, & se & x>1
© A imagem de f e de g:
im(f)=(-infty,-1] cup(3,+infty)

Passo 1

Primeiro, recapitulando: temos as funções definidas por partes e queremos encontrar a imagem (ou alcance) de cada uma. O conteúdo é análise de funções — ver onde cada ramo varia e depois unir tudo.

Passo 2

Vamos começar com f. Para x<0, f(x)=√(9+3x²). Esse radical é sempre ≥√9=3 e cresce quando |x| aumenta. Como x nunca chega a 0 por essa parte, o menor valor é >3, indo até +∞. Portanto, esse ramo contribui com (3,+∞).

Passo 3

Ainda em f, para x≥0 temos f(x)=-x²+4x-5. Reescrevendo como f(x)=-(x-2)²-1, vemos um máximo em x=2 que é -1, e à medida que x→+∞, f→-∞. Logo o ramo dá (-∞,-1]. Unindo os dois, fica im(f)=(-∞,-1] ∪ (3,+∞).

Passo 4

Agora g. Para x≤1, g(x)=x²+2x+3=(x+1)²+2 tem mínimo em x=-1 valendo 2 e cresce até +∞ quando |x|→∞. Esse ramo gera [2,+∞). Para x>1, g(x)=-√(12x²-3) é sempre negativo, tende a -3 quando x→1⁺ (não incluindo) e vai a -∞ para grandes x. Então esse ramo vale (-∞,-3). Unindo, im(g)=(-∞,-3) ∪ [2,+∞).

Resposta

im(f)=(-∞,-1] ∪ (3,+∞) e im(g)=(-∞,-3) ∪ [2,+∞).

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