Um tanque contém inicialmente
de sal dissolvidos em 100 litros de água. Suponha que água contendo
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
litros por minuto, enquanto a mistura homogênea sai do tanque à mesma taxa.
Qual é a quantidade final de sal que ficará no tanque quando
?
Qual é a quantidade final de sal que ficará no tanque quando
Passo 1
O enunciado pede para modelar a quantidade de sal dissolvido num tanque de volume constante quando entra e sai água em mesma vazão. O conteúdo envolvido é uma equação diferencial de primeira ordem para mistura homogênea: volume fixo, vazão de entrada e saída iguais, concentração de entrada conhecida e condição inicial de sal.
Passo 2
Definimos as variáveis e parâmetros: volume do tanque
L, vazão de entrada e saída
L/min, concentração de entrada de sal
kg/L, e
a massa de sal (kg) no tempo
. A equação de balanço de sal é
pois entra
kg/min e sai
kg/min.
Passo 3
Reconhecemos que é uma EDO linear de primeira ordem na forma
. O ponto de equilíbrio
satisfaz
, logo
Passo 4
Substituindo os valores:
L e
kg/L, obtemos a quantidade de sal em equilíbrio.
Resposta
20 kg