Um tanque contém inicialmente q0=25 kg de sal dissolvidos em 100 litros de água. Suponha que água contendo 15 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de r=3 litros por minuto, enquanto a mistura homogênea sai do tanque à mesma taxa.
Qual é a quantidade final de sal que ficará no tanque quando t infty ?

Passo 1

O enunciado pede para modelar a quantidade de sal dissolvido num tanque de volume constante quando entra e sai água em mesma vazão. O conteúdo envolvido é uma equação diferencial de primeira ordem para mistura homogênea: volume fixo, vazão de entrada e saída iguais, concentração de entrada conhecida e condição inicial de sal.

Passo 2

Definimos as variáveis e parâmetros: volume do tanque V=100 L, vazão de entrada e saída r=3 L/min, concentração de entrada de sal cin=tfrac15 kg/L, e q(t) a massa de sal (kg) no tempo t. A equação de balanço de sal é
dqdt=r,cin-r,q(t)V,,
pois entra r,cin kg/min e sai r,l(q/Vr) kg/min.

Passo 3

Reconhecemos que é uma EDO linear de primeira ordem na forma dq/dt+tfracrVq=r,cin. O ponto de equilíbrio qinfty satisfaz dq/dt=0, logo
0 = r,cin - rVqinfty Longrightarrow qinfty=r,cinr/V=V,cin,

Passo 4

Substituindo os valores: V=100 L e cin=tfrac15 kg/L, obtemos a quantidade de sal em equilíbrio.

Resposta

20 kg

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