Um tanque contém inicialmente
de sal dissolvidos em 100 litros de água. Suponha que água contendo
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
litros por minuto, enquanto a mistura homogênea sai do tanque à mesma taxa.
Esboce o gráfico da solução.
Esboce o gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado descreve um problema de tanques misturadores: inicialmente há
de sal em
de água; entra solução com concentração
à vazão
e sai mistura homogênea à mesma taxa. Precisamos de um modelo de equação diferencial (EDO) linear de primeira ordem para a quantidade de sal
.
Passo 2
Escrevendo taxas de entrada e saída de sal, a EDO é dada por
Isso é uma EDO linear do tipo
.
Passo 3
Para resolver, notamos que o estado de equilíbrio
satisfaz
A solução geral é
Passo 4
Para esboçar o gráfico, note que
e
. É uma curva exponencial decrescente, partindo de 25 e acercando-se assintoticamente de 20. Você pode marcar no eixo vertical o valor inicial 25 e a assíntota horizontal em 20, e traçar uma queda suave em forma de decaimento exponencial.
Resposta
S(t)=20+5e^{-0.03t}