Um tanque contém inicialmente q0=25 kg de sal dissolvidos em 100 litros de água. Suponha que água contendo 15 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de r=3 litros por minuto, enquanto a mistura homogênea sai do tanque à mesma taxa.
Esboce o gráfico da solução.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de tanques misturadores: inicialmente há q0=25,kg de sal em 100,L de água; entra solução com concentração tfrac15,kg/L à vazão r=3,L/min e sai mistura homogênea à mesma taxa. Precisamos de um modelo de equação diferencial (EDO) linear de primeira ordem para a quantidade de sal S(t).

Passo 2

Escrevendo taxas de entrada e saída de sal, a EDO é dada por
S'(t)=entrada-saída=rcdot15-rcdotS(t)100=35-3100S(t) í
Isso é uma EDO linear do tipo S'+pS=q.

Passo 3

Para resolver, notamos que o estado de equilíbrio Se satisfaz
0=35-3100Seimplies Se=(3/5)(3/100)=20
A solução geral é
S(t)=Se+(S(0)-Se)e^-3100t=20+(25-20)e^-3100t=20+5e^-0.03t

Passo 4

Para esboçar o gráfico, note que S(0)=25 e limttoinftyS(t)=20. É uma curva exponencial decrescente, partindo de 25 e acercando-se assintoticamente de 20. Você pode marcar no eixo vertical o valor inicial 25 e a assíntota horizontal em 20, e traçar uma queda suave em forma de decaimento exponencial.

Resposta

S(t)=20+5e^{-0.03t}

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